„Szferoid” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a Sok dolog: jó és jobb dolgok, rossz dolgok, kis és nagy dolgok és más dolgok egybe- és különírása (botszerkesztés kézi üzemmódban) |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
A '''szferoid''' vagy más néven '''forgási ellipszoid''' vagy '''kéttengelyű ellipszoid''' egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy [[Ellipszis (görbe)|ellipszist]] valamelyik [[tengely]]e mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az [[ellipszoid]]nak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú. |
A '''szferoid''' vagy más néven '''forgási ellipszoid''' vagy '''kéttengelyű ellipszoid''' egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy [[Ellipszis (görbe)|ellipszist]] valamelyik [[tengely]]e mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az [[ellipszoid]]nak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú. |
||
Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetünk meg, lapos ún. '''''lencseszferoidot''''' kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. '''''orsószferoidot''''' kapunk. |
|||
A [[gömb]] pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú. |
|||
== Matematikai alakja == |
== Matematikai alakja == |
||
12. sor: | 16. sor: | ||
Jelölje ''a'' a nagytengelyt, és ''b'' a kistengelyt. |
Jelölje ''a'' a nagytengelyt, és ''b'' a kistengelyt. |
||
Ekkor |
Ekkor az orsószferoid térfogata |
||
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a b^2,</math> |
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a b^2,</math> |
||
és a |
és a lencseszferoidé |
||
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a^2 b.</math> |
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a^2 b.</math> |
||
==Felszíne== |
==Felszíne== |
||
Legyen ismét ''a'' a nagytengely, és ''b'' a kistengely. |
Legyen ismét ''a'' a nagytengely, és ''b'' a kistengely. |
||
Ekkor |
Ekkor az orsószferoid felszíne |
||
:<math>A = 2\pi b \left(b + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\right)\right)</math>, |
:<math>A = 2\pi b \left(b + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\right)\right)</math>, |
||
és a |
és a lencseszferoidé |
||
:<math>A = 2\pi a \left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right)\right)</math>. |
:<math>A = 2\pi a \left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right)\right)</math>. |
||
35. sor: | 39. sor: | ||
==A felszínformulák levezetése== |
==A felszínformulák levezetése== |
||
Legyen <math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}-1=0</math> az ''a'' nagytengelyű és ''b'' kistengelyű ellipszoid egyenlete. |
Legyen <math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}-1=0</math> az ''a'' nagytengelyű és ''b'' kistengelyű ellipszoid egyenlete. |
||
=== |
===Orsószferoid=== |
||
Az első Guldin-szabállyal |
Az első Guldin-szabállyal |
||
:<math>A = 2\pi\int_{-a}^a f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x</math> |
:<math>A = 2\pi\int_{-a}^a f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x</math> |
||
55. sor: | 59. sor: | ||
Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet. |
Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet. |
||
=== |
===Lencseszferoid=== |
||
A számítások az előzőekhez hasonlók. |
A számítások az előzőekhez hasonlók. |
||
Most az |
Most az ellipszist az y tengely körül forgatjuk meg. |
||
Ismét az első Guldin-szabályt használjuk: |
Ismét az első Guldin-szabályt használjuk: |
A lap 2010. január 29., 18:09-kori változata
A szferoid vagy más néven forgási ellipszoid vagy kéttengelyű ellipszoid egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy ellipszist valamelyik tengelye mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az ellipszoidnak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú.
Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetünk meg, lapos ún. lencseszferoidot kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. orsószferoidot kapunk.
A gömb pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.
Matematikai alakja
Mivel az ellipszoid egyenletében szereplő három tengely közül kettő egyforma, a szferoid egyenlete is leegyszerűsödik az alábbi formára:
ahol X,Y és Z a térbeli koordináták, a és b pedig a megpörgetett ellipszis fél kis-, illetve fél nagytengelye attól függően, hogy az ellipszist a kis- vagy a nagytengelye mentén pörgettük meg.
Térfogata
Jelölje a a nagytengelyt, és b a kistengelyt.
Ekkor az orsószferoid térfogata
és a lencseszferoidé
Felszíne
Legyen ismét a a nagytengely, és b a kistengely.
Ekkor az orsószferoid felszíne
- ,
és a lencseszferoidé
- .
Gyakorlati jelentősége
A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a Föld, illetve más égitestek alakjának (például Mars) meghatározásában, a Föld alakja ugyanis igen jól közelíthető szferoiddal.
Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot.
Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. Magyarország a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a II. világháború utáni háromszögeléshez a Kraszovszkij-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer EOV létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A GPS (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.
A felszínformulák levezetése
Legyen az a nagytengelyű és b kistengelyű ellipszoid egyenlete.
Orsószferoid
Az első Guldin-szabállyal
Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete , ami az ellipszoid egyenletét y-ra megoldva adódik.
Továbbá szükség van a jobb oldal x szerinti deriváltjára:
Behelyettesítve
Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.
Az integrál határainak figyelembevételével
Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.
Lencseszferoid
A számítások az előzőekhez hasonlók.
Most az ellipszist az y tengely körül forgatjuk meg.
Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:
Az ellipszis egyenletét x-re megoldva
és behelyettesítve az és értékeket kapjuk a következőt:
ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.
További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik
amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.