Fixpont

A matematikában egy leképezés fixpontjának nevezünk egy olyan pontot, amelyet a leképezés helyben hagy. Egy leképezésnek lehet nulla, egy, véges sok, vagy végtelen sok fixpontja. Ha egy leképezés értelmezési tartományának minden pontja fixpont, akkor a leképezést identikus leképezésnek, vagy identitásnak hívjuk.

Definíció

Legyen $\phi :X\rightarrow Y$ egy leképezés, és legyen $x\in X$. Azt mondjuk, hogy $x$ fixpontja $\phi$ -nek, ha $\phi (x)=x$.

Példák

• A sík egy e egyenesre való tükrözésének fixpontja e valamennyi pontja.

• A sík egy nullától különböző v vektorral való eltolásának nincs fixpontja.

• A valós számokon értelmezett $y=x^{2}$ függvénynek fixpontja a 0 és az 1, hiszen $0^{2}=0$ és $1^{2}=1$.

• Jelölje D a végtelenszer differenciálható valós-valós függvények halmazán értelmezett azon operátort, amely minden függvényt a deriváltjára képez le. Akkor D-nek fixpontja az $e^{x}$ függvény.

Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek

Brouwer fixpont-tétele azt mondja ki, hogy $\mathbb {R} ^{n}$-ben a zárt egységgömb minden önmagára vett folytonos leképezésének van fixpontja.