„Inverzió (matematika)” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
végtelen helyett végtelen távoli pont |
a Bottal végzett egyértelműsítés: Függvény –> Függvény (matematika) |
||
18. sor: | 18. sor: | ||
==A komplex számsíkon== |
==A komplex számsíkon== |
||
A síkbeli inverzió tekinthető a [[komplex számok]]on értelmezett [[ |
A síkbeli inverzió tekinthető a [[komplex számok]]on értelmezett [[Függvény (matematika)|függvénynek]]. Különösen egyszerűen lehet tárgyalni az egységkörre vett inverziót: |
||
A <math>z</math> komplex szám inverze <math>w=\frac{1}{\bar z}.</math> |
A <math>z</math> komplex szám inverze <math>w=\frac{1}{\bar z}.</math> |
A lap 2009. július 20., 22:36-kori változata
Az inverzió geometriai transzformáció, ami nem hasonlósági transzformáció, de az érintkezést megtartja.
Legyen kijelölve egy gömb az euklidészi térben; középpontját jelölje , sugarát . A gömbre vonatkozó inverzióban az pont képe megadható vektorosan: Másként: képe az a pont, ami az félegyenesen van, és a középponttól mért távolsága Ekkor az inverzió alapgömbje. A pont az inverzió középpontja vagy pólusa, az inverzió hatványa.
Tulajdonságai
- Négyzete az identitás.
- Fixpontjai az alapgömbjének pontjai.
- A középpontján átmenő hipersíkokat és az alapgömböt merőlegesen metsző gömböket önmagukba viszi.
- Megcseréli az alapgömb belsejét és külsejét.
- Nincs értelmezve a középpontjában. A végtelen távoli ponttal bővített térben a középpont a végtelenbe képződik.
- Gömb vagy hipersík képe gömb vagy hipersík.
- Szögtartó, érintkezéstartó a gömbök és hipersíkok körében.
- Az alacsonyabb dimenziós gömbök és alterek körében is szögtartó és érintkezéstartó.
- A középpontban érintkező gömbök és hipersíkok képei párhuzamos hipersíkok.
- A metsző altérre vett leszűkítése is inverzió. Ennek alapgömbje az inverzió alapgömbjéből kimetszett alacsonyabb dimenziós gömb.
- Irányításváltó.
A komplex számsíkon
A síkbeli inverzió tekinthető a komplex számokon értelmezett függvénynek. Különösen egyszerűen lehet tárgyalni az egységkörre vett inverziót:
A komplex szám inverze
Így bizonyíthatók a síkbeli inverzió következő tulajdonságai:
- A középponton átmenő kör középponton át nem menő egyenesre képeződik
- Annak a körnek a képe, ami nem megy át a középponton, a középponton át nem menő kör
- Az inverzió nem reguláris függvény, mert megváltoztatja az irányítást. Másként: nem reguláris, mert előáll az és a konjugálás kompozíciójaként, és a konjugálás nem reguláris.
Források
- Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek – inverzió értelmezése magasabb dimenzióban is
- Halász Gábor: Komplex függvénytan – az egységkörre vett inverzió a komplex számsíkon
- Reiman István: Geometria és határterületei – inverzió a komplex síkon tulajdonságokkal