„Gauss–Lucas-tétel” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a kozmetikai javítások |
→A tétel bizonyítása: kat. |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
[[Kategória:Matematikai tételek]] |
[[Kategória:Matematikai tételek]] |
||
[[Kategória:Algebra]] |
|||
[[Kategória:Komplex analízis]] |
A lap 2009. június 1., 11:28-kori változata
A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.
A tétel állítása
Ha egy komplex együtthatós polinom, akkor deriváltjának minden gyöke gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).
A tétel bizonyítása
Legyen gyöktényezős felbontása
ahol a különböző gyökök multiplicitásai . Ekkor
Legyen s egy gyöke. Ha az gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint
A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy
ahol
Minden pozitív valós szám. Az baloldal tagjait konjugálva az adódik, hogy
.
Legyen . Ekkor azt kapjuk, hogy
Ha most bevezetjük a syámokat, akkor egyrészt
másrészt a -k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát valóban benne van az -k konvex burkában.