„Operátornorma” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
elírások kijaítása |
a Robot: következő hozzáadása: sv:Operatornorm |
||
95. sor: | 95. sor: | ||
[[fr:Norme d'opérateur]] |
[[fr:Norme d'opérateur]] |
||
[[pt:Norma operacional]] |
[[pt:Norma operacional]] |
||
[[sv:Operatornorm]] |
A lap 2008. június 26., 01:06-kori változata
A matematikában az operátornormát lineáris operátorok mérésére használják. Formálisan két normált vektortér közötti korlátos lineáris leképezések halmazán definiálják.
Bevezetés és definíció
Adott két normált vektortér V és W (ugyanazon test felett, amely vagy a valós számok R vagy a komplex számok C halmaza). Egy A : V → W lineáris operátor akkor és csak akkor folytonos, ha létezik egy c valós szám, amelyre:
(a baloldali norma a W, a jobboldali norma a V vektortérben értendő).
Szemléletesen szólva a folytonos operátor egy vektort sem nyújt meg a c konstansnál nagyobb mértékben. Ezért korlátos halmaz folytonos képe szintén korlátos. Ezért is nevezik a folytonos lineáris operátorokat korlátos operátoroknak is. Ekkor az A operátor méréséhez adódik, hogy legyen a legkisebb olyan c, amelyre fennáll a fenti egyenlőtlenség minden V beli v vektorra. Más szóval úgy mérjük az operátort, hogy legfeljebb mennyivel nyújt meg egy vektort a legrosszabb esetben. Tehát az operátornorma definíciója a következő:
A minimum létezik, mert az összes ilyen c halmaza zárt, nem üres és alúlról korlátos.
Példák
Minden valós m x n mátrix definiál egy lineáris leképezést Rn-ről Rm-re. Ezeken a vektortereken számos normát lehet értelmezni. Minden ilyen norma indukál egy-egy operátornormát az m x n mátrixok terén.
Speciálisan, az euklideszi norma az Rn és Rm tereken olyan operátornormát generál, amely minden A mátrixhoz az A*A mátrix legnagyobb sajátértékének a négyzetgyökét rendeli. (Ahol A* az A mátrix adjungáltját, azaz a transzponált konjugáltját jelöli.). Ez az érték ekvivalens az A mátrix legnagyobb szinguláris értékével.
Végtelen dimenziós esetre példa az sorozattér:
Ez tekinthető az Cn euklideszi tér végtelen dimenziós megfelelőjének is. Minden korlátos s = (sn ) sorozat eleme az térnek az alábbi normával:
Legyen Ts egyszerű szorzás:
ekkor a T s korlátos a következő operátornormával:
Ez a példa tovább általánosítható az l 2 tér helyett általános Lp teret használva p > 1 esetben illetve l∞ helyett az L∞ normált térben.
Ekvivalens definíciók
Megmutatható, hogy az alábbi definíciók ekvivalensek:
Tulajdonságok
Az operátornorma tényleg norma a V és W között értelmezett korlátos operátorok terén:
- ahol
- (háromszögegyenlőtlenség)
Az alábbi egyenlőtlenség a definíció közvetlen következménye:
Az operátornorma kompatibilis a kompozíció és a szorzás műveletekre: ha V, W és X három azonos test feletti normált vektortér és A : V → W, B: W → X két korlátos operátor, akkor
A definícióból következik, hogy ha operátorok sorozata konvergens az operátornormában, akkor egyenletesen is konvergál korlátos halmazokon.