„Sík (geometria)” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
ne keverjük |
|||
6. sor: | 6. sor: | ||
== Jellemzése == |
== Jellemzése == |
||
Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai: |
Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai: |
||
* Kétdimenziós objektum,<ref>Az ''n''-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (''n''–1)-dimenziós '''hipersík'''ok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete <math>ax+by+c=0</math> alakú!</ref> azaz |
* Kétdimenziós objektum,<ref>Az ''n''-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (''n''–1)-dimenziós '''hipersík'''ok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete <math>ax+by+c=0</math> alakú!</ref> azaz egy irányban végtelen, a második irányban 0 a kiterjedése. |
||
* Három nem kollineáris<ref>Nem egy egyenesre illeszkedő.</ref> pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös. |
* Három nem kollineáris<ref>Nem egy egyenesre illeszkedő.</ref> pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös. |
||
* Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik. |
* Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik. |
A lap 2020. július 2., 19:07-kori változata
A sík a geometriában, azon belül tipikusan a kétdimenziós síkgeometriában és a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom.
Definíciója
Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.
Jellemzése
Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:
- Kétdimenziós objektum,[1] azaz egy irányban végtelen, a második irányban 0 a kiterjedése.
- Három nem kollineáris[2] pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
- Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.
Sík megadása az analitikus geometriában
Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Legyen a sík egy pontja és egy normálvektor[3]. Ekkor a sík egyenlete:
ahol a d konstans a következőképpen adódik:
A sík egyenlete a skaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:
Jegyzetek
- ↑ Az n-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (n–1)-dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete alakú!
- ↑ Nem egy egyenesre illeszkedő.
- ↑ Olyan vektor, ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.