„Csoporthatás” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
nincs szerkesztési összefoglaló
A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport '''hat''' egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatanakvizsgálatának igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topológikustopologikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.
==Definíció==
''G'' csoport (balról) hat ''X'' halmazon, ha ''G'' minden eleme egy
:<math>X\rightarrow X</math> bijekció.
''G'' egységeleme ''X''-en az identitás:
:<math>\varphi(\psi x) =(\varphi\psi) x \;\;(\forall x \in X)(\forall \varphi,\psi \in G )</math>
==Pálya és stabilizátor==
Ha ''G'' hat ''X''-en, akkor valamely ''X''-beli ''x'' pont '''pályáján''', avagy '''orbitján'''
:<math>Gx=\{\varphi x | \varphi \in G\}</math>
halmazt értjük. Ha ''y'' rajta van ''x'' pályáján, azaz
:<math>y=g\,x</math>, akkor
:<math>x=g^{-1}\,y</math>, tehát ''x'' is rajta van ''y'' pályáján.
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha ''y'' rajta van ''x'', és ''z'' rajta van ''y'' pályáján, akkor ''z'' rajta van ''x'' pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent sajátmagábasaját magába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy ''X''-et partícionáljákparticionálják a G általi pályák.
 
Egy ''X''-beli x pont '''stabilizátorának''' ''G'' azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek x-et fixen hagyják. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges ''x'' pont <math>S_x</math> stabilizátora részcsoportja ''G''-nek. Tekintsük <math>S_x</math> baloldali mellékosztályait. Legyen <math>\pi' \in \pi S_x</math>, ekkor
:<math>\pi'=\pi\sigma\; (\sigma \in S_x)</math>
:<math>\pi'\,x=\pi\sigma\,x=\pi\,x</math>
Így <math>S_x</math> bármely mellékosztályának tetszőleges két eleme x-et ugyanoda viszi.
Most tegyük fel, hogy
:<math>\pi\,x=\pi'\,x</math> .
Ekkor legyen:
:<math>\sigma\,x = \pi^{-1}\pi'\,x =\pi^{-1}\,\pi x = x</math>,
tehát <math>\sigma</math> benne van ''x'' stabilizátorában, és
:<math>\pi'=\pi\sigma</math>, azaz
:<math>\pi'\in\pi S_x</math>.
Így ''x'' stabilizátorának minden [[Mellékosztály|mellékosztálya]] ''x'' pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy <math>S_x</math> indexe ''x'' pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:
:<math>\frac{1}{|G|}\sum_{x \in X}|S_x|=|P|</math>,
ami a bevezetésben foglaltak szerint azt jelenti, hogy egy csoporthatás transzformációi fixpontjainak az átlagos száma éppen a csoport általi pályák száma.
 
 
== Forrás ==

Navigációs menü