Csoporthatás

A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport hat egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatanak igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topológikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.

Definíció

G csoport (balról) hat X halmazon, ha G minden eleme egy

$X\rightarrow X$ bijekció.

G egységeleme X-en az identitás:

$1x=x\;(\forall x\in X)$

Teljesül az alábbi asszociativitás:

$\varphi (\psi x)=(\varphi \psi )x\;\;(\forall x\in X)(\forall \varphi ,\psi \in G)$

Pálya és stabilizátor

Ha G hat X-en, akkor valamely X-beli x pont pályáján, avagy orbitján

$Gx=\{\varphi x|\varphi \in G\}$

halmazt értjük. Ha y rajta van x pályáján, azaz

$y=g\,x$, akkor

$x=g^{-1}\,x$, tehát x is rajta van y pályáján.

Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha y rajta van x, és z rajta van y pályáján, akkor z rajta van x pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent sajátmagába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy X-et partícionálják a G általi pályák.

Egy X-beli x pont stabilizátorának G azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek x-et fixen hagyják. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges x pont $S_{x}$ stabilizátora részcsoportja G-nek. Tekintsük $S_{x}$ baloldali mellékosztályait. Legyen $\pi '\in \pi S_{x}$, ekkor

$\pi '=\pi \sigma \;(\sigma \in S_{x})$

$\pi '\,x=\pi \sigma \,x=\pi \,x$

Így $S_{x}$ bármely mellékosztályának tetszőleges két eleme x-et ugyanoda viszi. Most tegyük fel, hogy

$\pi \,x=\pi '\,x$ .

Ekkor legyen:

$\sigma =\pi ^{-1}\pi '$ . Így

$\sigma \,x=\pi ^{-1}\pi '\,x=\pi ^{-1}\,\pi x=x$,

tehát $\sigma$ benne van x stabilizátorában, és

$\pi '=\pi \sigma$, azaz

$\pi '\in \pi S_{x}$.

Így x stabilizátorának minden mellékosztálya x pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy $S_{x}$ indexe x pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:

$|Gx|\cdot |S_{x}|=|G|$.

Ha két pont stabilizátora konjugált, akkor azt mondjuk, hogy hasonló a pályájuk.

Burnside-lemma

A pálya-stabilizátor tétel hasznos következménye a Burnside-lemma. Ha G csoport hat X halmazon, akkor a csoportbéli transzformációk fixpontjainak az összegét kiszámolhatjuk úgy is, hogy minden pontnál megszámoljuk, hogy hány transzformációnak a fixpontja. Jelölje P a G általi pályák halmazát:

$\sum _{x\in X}|S_{x}|=\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|Gx|}}=\sum _{p\in P}\sum _{x\in p}{\frac {|G|}{|p|}}=|G|\sum _{p\in P}{\frac {p}{p}}=|G|\cdot |P|$

Ezt rendezve kapjuk a Burnside-lemmát:

${\frac {1}{|G|}}\sum _{x\in X}|S_{x}|=|P|$,

ami a bevezetésben foglaltak szerint azt jelenti, hogy egy csoporthatás transzformációi fixpontjainak az átlagos száma éppen a csoport általi pályák száma.