„Sík (geometria)” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

VizuálisWikiszöveges

Sorban

A lap 2011. július 30., 13:27-kori változata

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom.

Definíciója

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

kétdimenziós objektum^[1], azaz két irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
három nem kollineáris^[2] pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Sík megadása az analitikus geometriában

Egy sík egyenlete: Olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon.

Ha adott a sík egy pontja $(x_{0};y_{0};z_{0})$ és egy normálvektora^[3]: $Ax+By+Cz+D=0$ , ahol A, B és C rendre a sík normálvektorának első, második és harmadik koordinátáit jelölik^[4], a D konstansra pedig $-D=Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}$ teljesül.

Jegyzetek

↑ Az n dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az n-1 dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Ld: két dimenzióban a hipersík az egyenes → egyenlete $Ax+By+C=0$ alakú!
↑ Nem egy egyenesre illeszkedő.
↑ Olyan vektor, ami merőleges a síkra
↑ Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz $A^{2}+B^{2}+C^{2}=1$ . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.

Lásd még

[1] Az n dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az n-1 dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Ld: két dimenzióban a hipersík az egyenes → egyenlete $Ax+By+C=0$ alakú!

[2] Nem egy egyenesre illeszkedő.

[3] Olyan vektor, ami merőleges a síkra

[4] Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz $A^{2}+B^{2}+C^{2}=1$ . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ 12. sor: / 12. sor: @@
 == Sík megadása az analitikus geometriában ==
 ;Egy sík egyenlete:Olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon.
-* Ha adott a sík egy pontja <math>(x_0;y_0;z_0)</math> és egy ''normálvektor''a<ref>Olyan [[vektor]], ami merőleges a síkra</ref>: <math>Ax+By+Cz+D=0</math>, ahol ''A'', ''B'' és ''C'' rendre a sík normálvektorának első, második és harmadik koordinátáit jelölik<ref>Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz <math>A^2+B^2+C^2=1</math>. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.</ref>, a ''D'' [[konstans]]ra pedig <math>-D=Ax_0+By_0+Cz_0</math> teljesül.
+* Ha adott a sík egy pontja <math>(x_0;y_0;z_0)</math> és egy ''normálvektor''a<ref>Olyan [[vektor]], ami merőleges a síkra</ref>: <math>Ax+By+Cz+D=0</math>, ahol ''A'', ''B'' és ''C'' rendre a sík normálvektorának első, második és harmadik koordinátáit jelölik<ref>Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz <math>A^2+B^2+C^2=1</math>. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.</ref>, a ''D'' [[Konstans (matematika)|konstansra]] pedig <math>-D=Ax_0+By_0+Cz_0</math> teljesül.
 == Jegyzetek ==