Súlyozott átlag

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A súlyozott átlag a számtani közép általánosítása. A kettő között az a különbség, hogy az egyes értékeknek itt nem feltétlenül egyenlő a szerepe. Egyes értékek nagyobb súllyal eshetnek a latba, mint mások. Leginkább a leíró statisztikában van fontos szerepe.

Ha minden érték egyenlő súllyal esik latba, akkor a súlyozott átlag nem más, mint a közönséges számtani átlag. Bár a súlyozott átlag a legtöbb esetben a számtani átlaghoz hasonlóan működik, vannak olyan tulajdonságai, melyek az intuitiv megérzéssel nincsenek összhangban. Erre mutat példát a Simpson-paradoxon.

A súlyozott átlag általában valamilyen súlyokkal ellátott értékek számtani átlagára utal, de ennek mintájára meg lehet határozni az értékek súlyozott mértani átlagát és súlyozott harmonikus átlagát is.

Matematikai definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A súlyozott átlaga egy nem üres halmaz elemeinek

\{x_1, x_2, \dots , x_n\},

nemnegatív súlyokat használva

\{w_1, w_2, \dots, w_n\},

az eredmény

\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i},

ami azt jelenti, hogy


\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}.

Ebből az következik, hogy a nagyobb súlyú elem jobban számít az átlag meghatározásakor, mint azok, melyeknek kisebb a súlyuk. A súlyok nemnegatív értékek lehetnek. Lehetnek olyan értékek, melyeknek 0 a súlya. Legalább egy értéknek azonban ennél nagyobb súllyal kell bírnia. Nullával ugyanis nem lehet osztani.

A formula leegyszerűsödik, ha normáljuk a súlyokat, tehát ezek összértéke 1, pl.  \sum_{i=1}^n {w_i} = 1. Ilyen normált súlyoknál a súlyozott átlag egyszerűen \bar {x} = \sum_{i=1}^n {w_i x_i}.

A közönséges átlag \frac {1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i} a súlyozott átlag egy olyan speciális esete, ahol minden adatnak egyenlő a súlya. w_i=w

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Van két osztály. Az egyikbe 20, a másikba 30 tanuló jár. Egy teszten a következő pontszámok születtek:

Délelőtti osztály = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
Délutáni osztály = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

A reggeli osztály eredményeinek számtani átlaga 80, a délutáni osztályé pedig 90. A két szám számtani átlaga 85. Ha így állapítjuk meg az évfolyam átlagát, akkor nem vesszük figyelembe, hogy az egyik szám súlya 20, a másiké 30. A 85 nem azt az értéket mutatja meg, hogy hány pontot értek el átlagosan a gyerekek. Azt úgy lehet meghatározni, hogy összeadjuk az összes pontszámot, és az osztályok közötti megoszlásra tekintet nékül a két osztály összlétszámával osztunk.


\bar{x} = \frac{4300}{50} = 86.

Egy másik, szintén járható megoldás az, ha a két osztály átlageredményét az osztály létszámával súlyozva átlagoljuk. Ilyenkor az osztályátlagok súlyozott átlagát számítjuk ki.


\bar{x} = \frac{(20* 80) + (30 * 90)}{20 + 30} = 86.

A súlyozott átlaggal tehát olyankor is meg tudjuk állapítani az osztályok átlagos pontszámát, ha csak az átlageredményeket és az osztályok létszámát ismerjük.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]