Richardson-extrapoláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A numerikus analízisben a Richardson extrapoláció egy sorozatgyorsító módszer, amivel felgyorsíthatjuk egy sorozat konvergenciáját. Az eljárás Lewis Fry Richardson angol matematikusról kapta a nevét, aki a technikát a 20. század elején vezette be.[1][2] Birkhoff és Rota szerint "...a gyakorlati számításokban a hasznosságát nem igazán lehet túlbecsülni."[3]

Gyakorlati alkalmazásai között szerepel a Romberg integrálás, amely Richardson-extrapolációt alkalmaz a trapéz-szabályra, és a Bulirsch–Stoer algoritmus, amely differenciál egyenletek megoldására használható.

Példa[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy egy rendű közelítése egy alakú függvénynek, tehát . Ekkor

a Richardson extrapoláltja A(h)-nak; azaz a hm rendű megközelítése A-nak, ha m>n.

Általános esetben, a "2" tényező helyettesíthető más tényezővel, a lent bemutatott módon.

Gyakran könnyebb elérni egy adott pontosságot R(h)-t használva A(h') helyett, egy sokkal kisebb h' -val, ami problémákat okozhat a korlátozott pontosság (kerekítési hiba) és/vagy a szükséges számítások többlete miatt (ld. lenti példák).

Általános képlet[szerkesztés]

Legyen A(h) egy megközelítése A-nak, ami a pozitív h lépésszámtól függ, egy alakú hibaképlettel, ahol ai ismeretlen és ki ismert állandók úgy, hogy hki > hki+1.

A keresett érték megadható a

összefüggéssel, ami leegyszerűsíthető a nagy O jelöléssel

h lépésközt használva és h / t-t egy adott t-re, a két képlet A-ra:

A második egyenletet beszorozva tk0-val és kivonva az elsőt kapjuk a

egyenletet, amely A-ra megoldva a következőt adja:

Az eljárás által egy jobb özelítést értünk el A-ra, kiküszübülve a legnagyobb hibatényezőt, O-t (hk0). Az eljárás megismételhető még több hibatényező eltávolításáért és ezáltal még jobb közelítés eléréséért.

Egy általános rekurrenciás összefüggés állapítható meg a közelítésekre:

úgy, hogy

, .

Megjegyezendő, hogy a Richardson-extrapoláció lineáris sorozat-transzformációnak fogható fel.

Példa[szerkesztés]

Taylor-sorbafejtéssel,

f(x) deriváltja megadható

formában.

Ha a derivált eredeti közelítéseit

formában választjuk meg, akkor ki = i+1.

t = 2 esetben az első extrapoláció A-ra

lesz.

Az új közelítéshez

újraextrapolálhatunk,

kapva

.

Hivatkozások[szerkesztés]

  1. Richardson, L. F. (1911.). „The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems including differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A 210, 307–357. o. DOI:10.1098/rsta.1911.0009.  
  2. Richardson, L. F. (1927.). „The deferred approach to the limit”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A 226, 299–349. o. DOI:10.1098/rsta.1927.0008.  
  3. 126. o. Birkhoff, Garrett, Gian-Carlo Rota. Ordinary differential equations, 3rd edition, John Wiley and sons (1978). ISBN 047107411X. OCLC 4379402 
  • Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.

Külső (angol!) linkek[szerkesztés]