Riccati-féle differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az

(1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek nevezzük.

Ha , akkor lineáris, ha , akkor Bernoulli-féle differenciálegyenletet kapunk.

Az általános Riccati-féle differenciálegyenlet általában integrálással nem oldható meg,

de ha ismeretes az (1) egyenlet egyetlen

partikuláris megoldása,

akkor az

új ismeretlen függvény bevezetésével már az általános megoldás is előállítható.

Mi csak ezzel az esettel foglalkozunk.

Legyen az (1) egyenlet egy partikuláris megoldása

,

akkor fennáll az

(2)

azonosság. Vonjuk ki (1)-ből (2) megfelelő oldalát:

,

és vezessük be az

új ismeretlen függvényt, akkor a

alak áll elő. Rendezve

(3)

egyenletre jutunk, amely az új z(x) függvényre Bernoulli-féle differenciálegyenlet. Ennek megoldását az előző pontban ismertetett módon kapjuk, az

új ismeretlen függvény bevezetésével ui. lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható.

Az egyenletet Jacopo Riccatiról (1676–1754) nevezték al

Források[szerkesztés]