Lineáris differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A közönséges lineáris differenciálegyenlet és a közönséges lineáris differenciálegyenlet-rendszer a közönséges differenciálegyenletek fontos osztálya.

Definíció[szerkesztés]

Adva legyen az intervallum, a rajta értelmezett és valós értékű függvény. Ekkor az

egyenlet, ahol , n-edrendű, m egyenlőséget tartalmazó (közönséges) lineáris differenciálegyenlet-rendszer, ha minden rögzített -re az

leképezés lineáris.

Ha m=1, akkor (közönséges) lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Homogén, ha g(x) azonosan nulla, egyébként inhomogén.

A következőkben f(x)-et és g(x)-et folytonosnak tételezzük fel. Ekkor a n-szer differenciálható függvény az egyenletrendszer megoldása, ha

teljesül minden -re. Ha nem függ az első változótól, akkor az egyenletrendszer állandó együtthatós.

Speciális esetei[szerkesztés]

Fontos speciális esetei:

  • az m egyenletből álló elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszer:
ahol és folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenletrendszer
  • az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet:
ahol folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenlet

Ide tartoznak a további példák:

Globális létezés és egyértelműség[szerkesztés]

Jelöljünk ki egy tetszőles és egy pontot. Kezdetiérték-feladatnak nevezzük azt a feladatot, ami a differenciálegyenlet egy olyan megoldását keresi, ami átmegy ezen a ponton.

Az

kezdetiérték-feladatnak létezik egy, és csakis egy megoldása a Picard–Lindelöf-tételek szerint.

A megoldások struktúrája[szerkesztés]

Homogén rendszerek[szerkesztés]

A homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai vektorteret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy két megoldás lineáris kombinációja szintén megoldás. Az n-edrendű homogén lineáris differenciálegyenlet és az n egyenletből álló elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak vektortere n dimenziós. A megoldások vektorterének tetszőleges bázisát alaprendszernek nevezzük. Egy alaprendszert oszlopokként mátrixba téve kapjuk a Vronszkij-determinánst.

Inhomogén rendszerek[szerkesztés]

Az inhomogén rendszerhez tartozó homogén rendszer egy alaprendszerének és az inhomogén rendszer egy yp megoldásnak ismeretében az inhomogén rendszer összes megoldása kifejezhető:

a homogén rendszer megoldása

Ezt az yp megoldást partikuláris megoldásnak nevezzük.

Ha már megvan az alaprendszer, akkor tehát elég egy partikuláris megoldást találni. Egy általános módszer a konstans variációja, de speciális esetekben más módszerekkel hamarabb célt érünk. A megoldások hatványsor alakjában is kereshetők.

A megoldást megkönnyítheti egy alkalmasan választott transzformáció. Ha például ismert az inhomogén tag Laplace-transzformáltja, akkor abból meg lehet kapni a megoldás Laplace-transzformáltját. Ebből inverz transzformációval visszakapható az inhomogén rendszer partikuláris megoldása.

Ha az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer állandó együtthatós, akkor az egyenletrendszer alaprendszere megkapható a mátrix exponenciálisával, ami a Jordan-normálalakkal számítható.

Periodikus rendszerek[szerkesztés]

Legyen ω az együtthatómátrix és a tag közös periódusa. Keressük az rendszer ω szerint periodikus megoldását. Általában nem tudunk explicit alaprendszert konstruálni, de struktúráját ismerjük Floquet tételéből:

Az rendszer Φ alaprendszere alakú, ahol folytonosan differenciálható, és ω szerint periodikus, és a mátrix konstans.

Már csak az a kérdés, hogy léteznek-e ω szerint periodikus megoldások. Jelölje a homogén egyenlet ω szerint periodikus megoldásainak halmazát!

Ha Φ a homogén rendszer alaprendszere, akkor sajátértékei a homogén rendszer karakterisztikus multiplikátorai. A karakterisztikus multiplikátorok nem függnek az alaprendszer választásától. Egy tétel szerint a homogén rendszernek akkor és csak akkor vannak nem triviális ω szerint periodikus megoldásai, ha 1 karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek.

Inhomogén esetben tekintjük a egyenlet ω szerint periodikus megoldásait:

Ekkor a rendszernek akkor és csak akkor van ω szerint periodikus nem triviális megoldása, ha teljesül minden -ra.

Belátható, hogy . A rendszernek tehát minden b-re van ω szerint periodikus megoldása, függetlenül karakterisztikus multiplikátoraitól.

Források[szerkesztés]

  • Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
  • Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, ISBN 0-387-30769-9.