Paraméteres egyenletrendszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Példa egy parametrikus egyenletekkel definiált görbére a pillangó görbe

Paraméteres módon adunk meg egy görbét, ha a görbét (vagy felületet esetleg más függvényt) definiáló olyan egyenletrendszert adunk meg, amely a görbe tetszőleges pontjának koordinátáit segédváltozók segítségével fejezik ki.

Egyszerű példa: egy síkgörbe leírható úgy hogy valamilyen menetrend szerint bejárjuk a görbe útvonalát. Paraméternek ekkor a t időt választhatjuk, paraméteres egyenletekként meg lehet adni a görbe minden egyes pontja x és y koordinátája eléréséhez szükséges időt (a paramétert) az út megkezdésétől számítva. Ez a példa azt is megvilágítja, hogy egy görbe (például egy egyenes vagy kör) útvonal végtelen sokféle menetrend szerint bejárható, így végtelen sokféle paraméteres egyenlet írhatja le ugyanazt a görbét, felületet vagy függvényt.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Például a parabola legegyszerűbb egyenletét:

y = x^2\,

át lehet írni paraméteres alakba t független paramétert választva:

x = t\,
y = t^2\,

Bár az előző példa némiképp triviális volt, vegyük az a sugarú kör parametrikus egyenletrendszerét:

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t)\,

Többdimenziós görbék leírására kényelmesebb paraméteres egyenletrendszereket választani. Például a

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t)\,
z = bt\,

egyenletrendszer egy a sugarú, 2πb menetemelkedésű térbeli (háromdimenziós) csavarvonalat ír le. (megjegyzendő, hogy az x és y koordináta paraméteres egyenlete megegyezik a kör egyenleteivel, így az mondható, hogy a kör olyan csavarvonal, melynek menetemelkedése 0, illetve a csavarvonal olyan kör, melynek vége nem ugyanazon a z értéken van, mint a kezdőpontja.)

Az ilyen kifejezések összevonva így írhatók:

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,

A görbék megadása ilyen módon nemcsak praktikus, hanem hatékony is, például integrálható vagy deriválható az ilyen görbe változónként. Így például egy részecske sebessége megadható így is, ha az r(t) út-idő függvény paraméteres alakban is ismert:

v(t) = r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)\,

gyorsulása pedig:

a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)\,

Általában a paraméteres görbe egy független paraméter függvénye (amelyet általában t-vel jelölnek). Két vagy több független paraméter esetét lásd a paraméteres felületek szócikknél.

Paraméteres egyenletrendszer konverziója egyetlen egyenletre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A paraméteres egyenletek konverziója egyetlen egyenletre az egyik (általában az egyszerűbb egyenlet) megoldását jelenti a paraméterre. Ezután a paraméter megoldását be kell helyettesíteni a másik egyenletbe, majd az eredményt általában egyszerűsíteni kell.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]