Papposz-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Papposz-tétel a projektív geometria fontos tétele. Azt mondja ki, hogy ha egy egyenesen felveszünk három pontot, A-t, B-t és C-t, és egy másik egyenesen is felveszünk három pontot, A'-t, B'-t és C'-t, akkor az AB' és az A'B egyenes metszete, a BC' és a B'C egyenes metszete meg az AC' és az A'C metszete egy egyenesre esik.

A tétel a testre épített projektív geometriákban teljesül. Ha a koordináták más ferdetestből valók, akkor nem érvényes.[1] A Pascal-tétel speciális esete, ahol a kúpszelet két egyenesre redukálódik.

Duálisan, ha a, b és c egy ponton mennek át, és a', b' és c' is egy ponton mennek át, akkor az a \cap b' pontot az a' \cap b ponttal összekötő egyenes, a b \cap c' pontot a b' \cap c ponttal összekötő egyenes meg a az a \cap c' pontot az a' \cap c ponttal összekötő egyenes egy ponton megy át.

A Papposz-konfigurációt olyan egyenesek és pontok alkotják, amik a tételben szerepelnek. 9 pontot, 9 egyenest tartalmaz, és önduális. Illeszkedési gráfja egy 18 csúcsú és 27 élű távolságreguláris páros gráf.

Ekvivalens alakjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Papposz-tétel és duálisának a következő ekvivalens megfogalmazásai ismertek:

  • Ha egy hatszög csúcsai felváltva két egyenes valamelyikére illeszkednek, akkor a szemközti oldalpárok metszetei egy egyenesre illeszkednek.[2]
  • Tekintsük a következő mátrixot:
\begin{Vmatrix}
A & B & C \\
A' & B' & C' \\
X & Y & Z \end{Vmatrix}
Ha ebben a mátrixban az első két sor és a hat diagonális egy egyenesre illeszkedik, akkor a harmadik sor is. Vagyis, ha ABC, A'B'C', AB'Z, BC'X, CA'Y, XB'C, YC'A, és ZA'B egyenesek, akkor XYZ is egyenes. A megfordításához az egyenesek vonalkoordinátáit kell beírni.[3]
  • Adva legyen két egyenes, rajtuk három-három kijelölt ponttal. Ha ezeket párba állítjuk, akkor a nem párba állított pontokat összekötő egyenesek metszéspontjai egy egyenesre esnek.[4]
  • Ha AB, CD és EF egy ponton mennek át, és DE, FA és BC is egy ponton mennek át, akkor AD, BE és CF is egy ponton mennek át.[3]

Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Papposz-tétel bizonyítása ekvivalens a duálisával. Ehhez koordinátageometriai eszközöket használunk.

Válasszuk a koordinátarendszert úgy, hogy C=(1,0,0), C'=(0,1,0), X=(0,0,1), A=(1,1,1) legyen. Ekkor AC, AC', AX egyenlete: x_2=x_3, x_1=x_3, x_2=x_1. Ekkor B=(p,1,1), B'=(1,q,1), Y=(1,1,r), ahol p, q, r nullelemtől és egységelemtől különböző testelemek. Ekkor XB, C'B', CY egyenletei rendre x_1=px_2, x_2=qx_3, x_3=rx_1. Ezek akkor és csak akkor mennek át egy ponton, ha pqr=1. A feltétel szerint CB', C'B és XY egy ponton mennek át, ha x_2=qx_1, x_1=px_3, x_3=rx_2 és qpr=1. Mivel a test kommutatív, ezért qpr=pqr=1.

A bizonyítás nem működik kommutativitás nélkül. Felvetődik a kérdés, hogy nincs-e más bizonyítás, ami kiterjeszti a tétel érvényességét más síkokra is. Gerhard Hessenberg német matematikus belátta, hogy a Papposz-tételből levezethető a Desargues-tétel. Általában, a Papposz-tétel ekvivalens azzal, hogy a projektív geometria kommutatív testre épített. Nem teljesül nem kommutatív ferdetestekre épített terekben, vagy nem Desargues-síkokon.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Coxeter, pp. 236-7
  2. Coxeter, p. 231
  3. ^ a b Coxeter, p. 233
  4. Whicher, chapter 14

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0

Whicher, Olive (1971), Projective Geometry, Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4