Pascal-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A kúpszeletbe írt ABCDEF hatszög szemben fekvő oldalai a Pascal-egyenesen metszik egymást. A Pascal-egyenes fehér.

A Blaise Pascalról elnevezett Pascal-tétel klasszikus tétel a projektív síkgeometriában.

Legyenek a kúpszeletbe írt hatszög csúcsai 1, 2, 3, 4, 5, 6 (a csúcsok a kúpszeletre illeszkednek). Ekkor az

A=12 \cap 45
B=23 \cap 56
C=34 \cap 61

pontok egy egyenesre esnek.

Duálisa a Brianchon-tétel.

A Brianchon-tétel és a Pascal-tétel alkalmazásaként lehetséges kúpszelethez pontokat és érintőket csak vonalzóval szerkeszteni.[1]

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel bizonyítása a kettősviszony és a sugársorok képződményének felhasználásával történik.

Jelölje X a 23 \cap 45 és Y a 34 \cap 56 pontot. Tekintsük a kúpszeletet a 2-re és a 6-ra illeszkedő sugársorok projektív képződményének. Ekkor

\mathrm{cr}(C,Y,4,3)=\mathrm{cr}(61,65,64,63)=\mathrm{cr}(21,25,24,23)=\mathrm{cr}(A,5,4,X)

Homogén koordinátákkal tovább számolva adódik a tétel.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]