Kettősviszony

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az kettősviszony egy egyenes (pontsor) négy pontjára illetve egy sugársor négy elemének kölcsönös elhelyezkedésére jellemző viszonyszám. A projektív geometria fontos alapfogalma: centrális vetítéskor a távolságok és a szögek változnak, a kettősviszony megmarad (invariáns). Ezt Papposz egyik fontos tétele biztosítja.

Értelmezése[szerkesztés]

Az pontnégyes kettősviszonya az és egyszerű- vagy osztóviszonyok hányadosa (viszonya):

  • (

A három pont viszonylagos helyzetét jellemző osztóviszonyt szakaszok hányadosa definiálja:

  • ,
  • .

A pontnégyes és a sugárnégyes kettősviszonya:

Kettos-1.gif

  • ,

Kettos-2.gif

  • .

A formulákban szereplő szakaszok és szögek irányítottak, előjelesek. Kettos-3.gif

Néhány példa az osztóviszonyra:

- felezőpont,

- harmadoló pont (A-hoz közelebbi),

- harmadoló pont (B-hez közelebbi),

Néhány példa a kettősviszonyra:

.

Harmonikus négyes[szerkesztés]

Harmonikus.gif

Különös fontosságú az olyan pontnégyes, amelynek kettősviszonya . Ez csak úgy lehet, hogy X és Y közül az egyik pont az AB szakaszon, másik azon kívül helyezkedik el, s az osztóviszonyokra pedig teljesül:

Papposz tétele[szerkesztés]

Kettos-5.gif

Ha az egy pontra illeszkedö egyenesek egy, a közös pontjukra nem illeszkedő egyenest rendre az pontokban metszenek, akkor

A tétel egyszerű következménye, hogy ha két egyenest metsz a sugársor, akkor az egyik egyenesen a metszéspontok kettősviszonya a másik egyeneseken keletkező vetületüknek a kettősviszonyával egyezik: . Hasonló összefüggés igazolható a közös egyenesre illeszkedő sugársorok négyeseire: .

Irodalom[szerkesztés]

  • Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.