Püthagoraszi hangolás

A püthagoraszi hangolás következetesen kvintekből, a kvintkör szerint felépülő temperálás, amelyben a püthagoraszi kommát egyetlen nem tiszta kvint küszöböli ki, a szintonikus komma pedig a tercek nagy részénél teljesen megmarad. Előnye a tiszta hangoláshoz képest az, hogy több hangnemben is lehet elfogadhatóan játszani, a kiegyenlített hangolástól eltérően pedig tartalmaz tiszta hangközöket, így például a Gisz-Esz kvintet szűkítő változatban az alaphangnemen belül tiszta a nagyszekund, a kvart, a kvint, a kisszeptim és az oktáv. A középhangú temperálás elterjedéséig egyeduralkodó volt e hangolás az európai zenében, csak a terc konszonánssá válása és az ennek nyomán jelentkező új igények tudták a reneszánsz idején visszaszorítani más temperálásokhoz képest.

Általános hangolás

Alapszámítások

A püthagoraszi hangsor alapjául a tiszta kvint szolgál, melynek arányszáma 3/2, az ehhez tartozó centérték pedig a következő képlettel számítható ki:

$C_{kvint}=1200\cdot \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 701{,}955$

Ebből a kvintből építünk egymásra tizenkettőt, hogy megkapjuk a hangsor elemeit. Mivel azonban 12 tiszta kvint nem egyenlő 7 tiszta oktávval, vagyis

$12\cdot 701{,}955\neq 7\cdot 1200$

így a kvintkör nem záródik, és fennmarad a püthagoraszi komma, melynek értéke:

$K=12\cdot 701{,}955-7\cdot 1200\approx 8423{,}46-8400=23{,}46$

Ennek következményeként ezen hangolásban minden hangközből két különböző fajta található, egy kisebb és egy nagyobb, K (23,46 cent) eltéréssel. Szemléletesen ezt úgy magyarázhatjuk, hogy például a C-ről kiindulva az F hangot kétféleképpen kaphatjuk meg: vagy egymásra építünk fölfelé 11 kvintet, vagy pedig C-ről lépünk egy kvintet lefelé. A püthagoraszi komma létezése miatt a két kvart (C-F) nem lesz egyforma, az első esetben a centérték 521,505, a másodikban 498,045 (a különbség 23,46).

Felépítés

A püthagoraszi hangsor kvintekből való építkezését mutatja be a következő táblázat. Az első oszlop tartalmazza a lépésszámot, a második az abszolút centértéket, a harmadik a közös oktávba transzponáltat (matematikailag ezt értelemszerűen úgy kapjuk meg, hogy vesszük az 1200-zal való osztás maradékát), a negyedik pedig a megkapott hangköz kiegészítő hangközét (például a tiszta kvintnél a tiszta kvartot stb.), ami ugyanaz, mintha lefelé kezdtünk volna el a kvintekből építkezni, és amire a következőkben lesz szükségünk a hangközök két különböző fajtájának meghatározásához.

i	C = i * Ckvint	k1 = C mod 1200	k2 = 1200 – k1
0	0	0	1200 (0)
1	701,955	701,955	498,045
2	1403,91	203,91	996,09
3	2105,865	905,865	294,135
4	2807,82	407,82	792,18
5	3509,775	1109,775	90,225
6	4211,73	611,73	588,27
7	4913,685	113,685	1086,315
8	5615,64	815,64	384,36
9	6317,595	317,595	882,405
10	7019,55	1019,55	180,45
11	7721,505	521,505	678,495
12	8423,46	23,46	1176,54

Hangközök

A fenti számokat sorrendbe téve meghatározhatjuk a hangközöket, és kiszámíthatjuk eltérésüket a tiszta hangolású hangsor (t) elemeitől:

Hang neve	Hangköz neve	t	k1	t – k1	k2	t – k2
C	Prím	0,000	23,460	-23,460	0,000	0,000
Cisz	Kisszekund	111,731	113,685	-1,954	90,225	21,506
D	Nagyszekund	203,910	203,910	0,000	180,450	23,460
Esz	Kisterc	315,641	317,595	-1,954	294,135	21,506
E	Nagyterc	386,314	407,820	-21,506	384,360	1,954
F	Kvart	498,045	521,505	-23,460	498,045	0,000
Fisz	Tritonus	590,224	611,730	-21,506	588,270	1,954
G	Kvint	701,955	701,955	0,000	678,495	23,460
Gisz	Kisszext	813,686	815,640	-1,954	792,180	21,506
A	Nagyszext	884,359	905,865	-21,506	882,405	1,954
B	Kisszeptim	996,090	1019,550	-23,460	996,090	0,000
H	Nagyszeptim	1088,269	1109,775	-21,506	1086,315	1,954

k₁ – k₂ láthatóan minden esetben 23,46, vagyis a püthagoraszi komma. A kisterc és a nagyterc egy-egy változata (294,135 ill. 407,82) 21,506 centtel tér el a tiszta hangolás által megkövetelt értéktől: ez a különbség a szintonikus komma, ami a püthagoraszi hangolást – a terc szerepének felértékelődése miatt – a középkorban használatra alkalmatlanná teszi, és kikényszeríti a tiszta terceket tartalmazó középhangú temperálás megalkotását. Megjegyzendő, hogy a két terc másik két változata csak 1,954-del tér el a tiszta hangolástól, azonban ezen változatokból csupán 3 illetve 4 fordul elő az adott hangsorban, szemben a nem tiszta tercek 8 illetve 9 darabszámával

Hangolás szűkített Gisz-Esz kvinttel

Ahhoz, hogy a kvintkör bezáruljon, a kvintlánc egyik helyén a szokásosnál kisebb kvintet, az ún. farkaskvintet kell használni a tiszta kvint helyett. Attól függően, hogy melyik kvintet csökkentjük, kaphatjuk meg a püthagoraszi hangolás különböző változatait. (Nem célszerű ezt a lánc végére, az F-C kvintre hagyni, mert az sok zenében előfordul, melyek így mind hamisan szólnának.) A legelterjedtebb megoldás a Gisz-Esz kvint csökkentése; a továbbiakban ennek tulajdonságait vizsgáljuk, azon megjegyzéssel, hogy az egyéb változatok is nagyon hasonlóak ehhez, csak más helyeken jelennek meg a különböző hangköztípusok.

Felépítés

Az általános esethez hasonlóan tiszta kvintekből építjük fel a hangsorunkat, ügyelve arra, hogy a Gisz-Esz kvintben (a 9. lépésben) levonjuk a kommát. Az alábbi táblázat első oszlopa a hang nevét mutatja, a második a lépésszámot, a harmadik az általános hangolás abszolút centértékeit, a negyedik a kommát, amit az Esz-től kezdve alkalmazunk, az ötödik a kommával módosított értékeket, a hatodik pedig ezen utóbbi közös oktávba transzponált változatait vagyis a C₁-hez viszonyított hangközértékeket.

Hang neve	i	C = i * Ckvint	komma	kabs	k = kabs mod 1200
C1	0	0,000		0,000	0,000
G	1	701,955		701,955	701,955
D	2	1403,910		1403,910	203,910
A	3	2105,865		2105,865	905,865
E	4	2807,820		2807,820	407,820
H	5	3509,775		3509,775	1109,775
Fisz	6	4211,730		4211,730	611,730
Cisz	7	4913,685		4913,685	113,685
Gisz	8	5615,640		5615,640	815,640
Esz	9	6317,595	-23,460	6294,135	294,135
B	10	7019,550	-23,460	6996,090	996,090
F	11	7721,505	-23,460	7698,045	498,045
C2	12	8423,460	-23,460	8400,000	0,000

Ezáltal a püthagoraszi kommát a gyakorlatban ritkán használt Gisz-Esz kvintben rejtettük el, így a C körüli hangnemek tisztán szólnak.

Hangközök

A fenti k értékeket sorba rendezve kapjuk meg az adott hangolás alaphangra emelt hangközeit. Az alábbi táblázatban az első oszlop a hangok míg a második a hangközök neveit adja meg, a harmadik tartalmazza hangközértékeket, a negyedikből pedig az előző hangtól való eltérést olvashatjuk le.

Hang neve	Hangköz neve	k	Δk
C	Prím	0,000	-
Cisz	Kisszekund	113,685	113,685
D	Nagyszekund	203,910	90,225
Esz	Kisterc	294,135	90,225
E	Nagyterc	407,820	113,685
F	Kvart	498,045	90,225
Fisz	Tritonus	611,730	113,685
G	Kvint	701,955	90,225
Gisz	Kisszext	815,640	113,685
A	Nagyszext	905,865	90,225
B	Kisszeptim	996,090	90,225
H	Nagyszeptim	1109,775	113,685

Mint kitűnik, a kétféle kisszekund (90,225 illetve 113,685) építi fel a hangsort, más félhangtípus nem fordul elő.

A következő táblázat az összes előforduló hangközt tünteti fel, kiemelten a nagyobb (a fentiekben k₁ típusú) és normál módon a kisebb (k₂) hangközöket.

-	C	Cisz	D	Esz	E	F	Fisz	G	Gisz	A	B	H
C	0,000	113,685	203,910	294,135	407,820	498,045	611,730	701,955	815,640	905,865	996,090	1109,775
Cisz	1086,315	0,000	90,225	180,450	294,135	384,360	498,045	588,270	701,955	792,180	882,405	996,090
D	996,090	1109,775	0,000	90,225	203,910	294,135	407,820	498,045	611,730	701,955	792,180	905,865
Esz	905,865	1019,550	1109,775	0,000	113,685	203,910	317,595	407,820	521,505	611,730	701,955	815,640
E	792,180	905,865	996,090	1086,315	0,000	90,225	203,910	294,135	407,820	498,045	588,270	701,955
F	701,955	815,640	905,865	996,090	1109,775	0,000	113,685	203,910	317,595	407,820	498,045	611,730
Fisz	588,270	701,955	792,180	882,405	996,090	1086,315	0,000	90,225	203,910	294,135	384,360	498,045
G	498,045	611,730	701,955	792,180	905,865	996,090	1109,775	0,000	113,685	203,910	294,135	407,820
Gisz	384,360	498,045	588,270	678,495	792,180	882,405	996,090	1086,315	0,000	90,225	180,450	294,135
A	294,135	407,820	498,045	588,270	701,955	792,180	905,865	996,090	1109,775	0,000	90,225	203,910
B	203,910	317,595	407,820	498,045	611,730	701,955	815,640	905,865	1019,550	1109,775	0,000	113,685
H	90,225	203,910	294,135	384,360	498,045	588,270	701,955	792,180	905,865	996,090	1086,315	0,000

Értelemszerűen a bal fentről jobb alulra tartó átlók tartalmazzák az azonos típusú hangközöket. Leolvasható például az ábráról, hogy ebben a hangolásban egy darab 521,505 centértékű kvart található (nyilván az Esz-Gisz, a Gisz-Esz kvint fordítottja), a többi mind 498,045 értékű. A számokat viszonyíthatjuk a tiszta hangolású értékekhez is, ekkor kapjuk az alábbi táblát (t – k₁ ill. t – k₂ különbségekkel):

-	C	Cisz	D	Esz	E	F	Fisz	G	Gisz	A	B	H
C	0,000	-1,954	0,000	21,506	-21,506	0,000	-21,506	0,000	-1,954	-21,506	0,000	-21,506
Cisz	1,954	0,000	-21,506	23,460	21,506	1,954	0,000	1,954	0,000	21,506	1,954	0,000
D	0,000	-21,506	0,000	-21,506	0,000	21,506	-21,506	0,000	-21,506	0,000	21,506	-21,506
Esz	-21,506	-23,460	-21,506	0,000	-1,954	0,000	-1,954	-21,506	-23,460	-21,506	0,000	-1,954
E	21,506	-21,506	0,000	1,954	0,000	-21,506	0,000	21,506	-21,506	0,000	1,954	0,000
F	0,000	-1,954	-21,506	0,000	-21,506	0,000	-1,954	0,000	-1,954	-21,506	0,000	-21,506
Fisz	1,954	0,000	21,506	1,954	0,000	1,954	0,000	-21,506	0,000	21,506	1,954	0,000
G	0,000	-21,506	0,000	21,506	-21,506	0,000	-21,506	0,000	-1,954	0,000	21,506	-21,506
Gisz	1,954	0,000	1,954	23,460	21,506	1,954	0,000	1,954	0,000	-21,506	23,460	21,506
A	21,506	-21,506	0,000	1,954	0,000	21,506	-21,506	0,000	-21,506	0,000	-21,506	0,000
B	0,000	-1,954	-21,506	0,000	-21,506	0,000	-1,954	-21,506	-23,460	-21,506	0,000	-1,954
H	-21,506	0,000	21,506	1,954	0,000	1,954	0,000	21,506	-21,506	0,000	1,954	0,000

Mint leolvasható, a kisterc 3 helyen (Esz-Fisz, F-Gisz, B-Cisz), a nagyterc pedig 4 helyen (Cisz-F, Fisz-B, Gisz-C, H-Esz) majdnem teljesen tiszta (a különbség abszolútértékben 1,954 cent), a többi esetben azonban ennél jóval többel, a szintonikus komma 21,506 centértékével tér el a tiszta hangolás által megkövetelttől.

Skálák

A 12-fokú hangsor minden fokára építhetünk skálát, amelyik a hangolási rendszer függvényében más lesz, mint az eredeti, az alaphangra emelt skála. A püthagoraszi hangolás esetében minél távolabb kerülünk az alaphangtól, annál hamisabb lesz a kapott hangsorunk, vagyis itt a tiszta hangolás egy változatával van dolgunk.

A Gisz-Esz kvintet szűkítő hangolás esetén az alábbi táblázat szerint alakulnak a skálaviszonyok. Az egyes oszlopok azt mutatják, milyen centviszonyban vannak a hangok a kijelölt alaphanghoz képest; például az Esz skálában a kvint a B, az Esz-B hangköz pedig 701,955 értékű kvint (a tábla valójában a hangközöket mutató fentebbi "elforgatása" 45°-kal).

-	C	Cisz	D	Esz	E	F	Fisz	G	Gisz	A	B	H
0	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
1	113,685	90,225	90,225	113,685	90,225	113,685	90,225	113,685	90,225	90,225	113,685	90,225
2	203,910	180,450	203,910	203,910	203,910	203,910	203,910	203,910	180,450	203,910	203,910	203,910
3	294,135	294,135	294,135	317,595	294,135	317,595	294,135	294,135	294,135	294,135	317,595	294,135
4	407,820	384,360	407,820	407,820	407,820	407,820	384,360	407,820	384,360	407,820	407,820	384,360
5	498,045	498,045	498,045	521,505	498,045	498,045	498,045	498,045	498,045	498,045	498,045	498,045
6	611,730	588,270	611,730	611,730	588,270	611,730	588,270	611,730	588,270	588,270	611,730	588,270
7	701,955	701,955	701,955	701,955	701,955	701,955	701,955	701,955	678,495	701,955	701,955	701,955
8	815,640	792,180	792,180	815,640	792,180	815,640	792,180	792,180	792,180	792,180	815,640	792,180
9	905,865	882,405	905,865	905,865	905,865	905,865	882,405	905,865	882,405	905,865	905,865	905,865
10	996,090	996,090	996,090	1019,550	996,090	996,090	996,090	996,090	996,090	996,090	1019,550	996,090
11	1109,775	1086,315	1109,775	1109,775	1086,315	1109,775	1086,315	1109,775	1086,315	1109,775	1109,775	1086,315

Ha az alaphangra emelt skálához viszonyítunk, vagyis azt nézzük, mennyire tér el az adott sor az eredetitől, a következő táblát kapjuk:

-	C	Cisz	D	Esz	E	F	Fisz	G	Gisz	A	B	H
Prím	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
Kisszekund	0,00	-23,46	-23,46	0,00	-23,46	0,00	-23,46	0,00	-23,46	-23,46	0,00	-23,46
Nagyszekund	0,00	-23,46	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	0,00	0,00	0,00
Kisterc	0,00	0,00	0,00	23,46	0,00	23,46	0,00	0,00	0,00	0,00	23,46	0,00
Nagyterc	0,00	-23,46	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	0,00	-23,46	0,00	0,00	-23,46
Kvart	0,00	0,00	0,00	23,46	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
Tritonus	0,00	-23,46	0,00	0,00	-23,46	0,00	-23,46	0,00	-23,46	-23,46	0,00	-23,46
Kvint	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	0,00	0,00	0,00
Kisszext	0,00	-23,46	-23,46	0,00	-23,46	0,00	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	0,00	-23,46
Nagyszext	0,00	-23,46	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	0,00	-23,46	0,00	0,00	0,00
Kisszeptim	0,00	0,00	0,00	23,46	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	23,46	0,00
Nagyszeptim	0,00	-23,46	0,00	0,00	-23,46	0,00	-23,46	0,00	-23,46	0,00	0,00	-23,46

Az oszlopokat és sorokat a skála felépítésének megfelelően újrarendezve még világosabban láthatjuk, hogyan válnak egyre hamisabbá a hangsorok az alaphangtól távolodva, illetve azt, milyen hatása van a kvintszűkítésnek:

-	C	Cisz	D	Esz	E	F	Fisz	G	Gisz	A	B	H
Prím	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
Kvint	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	0,00	0,00	0,00
Nagyszekund	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	-23,46	0,00	0,00	0,00
Nagyszext	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	-23,46	-23,46	0,00	0,00	0,00
Nagyterc	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	0,00	0,00	0,00
Nagyszeptim	0,00	0,00	0,00	0,00	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	0,00	0,00	0,00
Tritonus	0,00	0,00	0,00	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	0,00	0,00	0,00
Kisszekund	0,00	0,00	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	0,00	0,00	0,00
Kisszext	0,00	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	-23,46	0,00	0,00	0,00
Kisterc	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	23,46	23,46	23,46
Kisszeptim	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	23,46	23,46	0,00
Kvart	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	23,46	0,00	0,00

Jól megfigyelhetően minden egyes kvintlépés egy újabb hanggal teszi hamisabbá a teljes hangsort, egészen a farkaskvint alkalmazásáig, amikor megfordul a folyamat. A szűkítést tulajdonképpen úgy is értelmezhetjük, mint azon határt, ameddig felfelé illetve lefelé építjük a hangsort. A jelenlegi példában így a Gisz hangig haladunk felfelé, illetve az Esz-ig lefelé, a kettő pedig intervallumként farkaskvintet ad.

Összefoglalás

A fenti konkrét példához hasonlóan el lehet végezni a más kvintet szűkítő püthagoraszi hangolások elemzését is. Mindegyik változatnál azt kapjuk eredményül, hogy 90,225 és 113,685 centértékű kisszekundok építik fel a hangsort, a skálák pedig a szűkítésig növekvő, majd onnantól csökkenő mértékben térnek el az eredetitől.

A hangolás láthatóan az alaphanghoz közeli hangnemeket preferálja, vagyis nem lehet benne minden skálát még hozzávetőlegesen sem hasonlóan eljátszani. Bár tartalmaz tiszta hangközöket, de a szintonikus komma kiküszöböletlensége miatt a reneszánsz és újkor zenéje elfordult tőle, s át kellett adnia helyét más temperálásoknak, hogy mára már pusztán kuriózumként, érdekességként szerepeljen a zenei lexikonokban és összefoglalókban.

Külső hivatkozások

Német leírás a püthagoraszi hangolásról