Mittag-Leffler-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A komplex analízisben Mittag-Leffler tétele azt állítja, hogy tetszőlegesen megadott pólusokhoz van meromorf függvény. Megfordítva használható arra, hogy a meromorf függvényeket parciális törtekre bontsa. Testvére Weierstrass faktorizációs tétele, ami azt állítja, hogy tetszőlegesen megadott nullhelyekhez van holomorf függvény.

A tételt a svéd Magnus Gösta Mittag-Leffler után nevezték el.

Állítása[szerkesztés]

Legyen D nyílt halmaz -ben, és legyen zárt diszkrét részhalmaz. Ekkor minden komplex számra -ben legyen polinom -ban. Ekkor van egy meromorf függvény -ben, hogy minden esetén a függvény szingularitása megszüntethető -ban. Eszerint főrésze -ban .

Példa[szerkesztés]

Legyen f(z) olyan, hogy az összes pozitív egészeken egyszerű pólusa van, és reziduuma 1! A fenti jelölésekkel legyen

és . A Mittag-Leffler-tétel azt állítja, hogy van egy meromorf függvény, aminek főrésze minden pozitív esetén. Ez az megfelelő lesz. Konstruktívabban,

.

Ez a sorozat normálisan konvergál teljes -n a kívánt függvényhez, ahogy az a Weierstrass-féle M-teszttel is igazolható.

Meromorf függvények pólus kiterjesztései[szerkesztés]

Néhány példa meromorf függvények pólus kiterjesztéseire:

Bizonyítása[szerkesztés]

Jegyezzük meg, hogy ha véges, akkor legyen . Ha nem véges, akkor legyen , ahol F véges részhalmaza E-nek. Ha nem konvergál, ha megközelíti F az E-t, akkor alkalmasan választott racionális függvényeket levonva a konvergencia biztosítható. A főrész változatlan marad, ha ezeknek a függvényeknek nincs pólusuk D-ben.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mittag-Leffler's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.