σ-algebra

A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Formális definíció

Axiómák

Legyen $\Omega$ tetszőleges halmaz, ${\mathcal {P}}(\Omega )$ az $\Omega$ részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ az $\Omega$ részhalmazainak egy halmaza.

Az ${\mathcal {A}}$ halmazt az $\Omega$ halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1. ${\mathcal {A}}$ nem üres, azaz ${\mathcal {A}}\neq \emptyset$.

2. ${\mathcal {A}}$ tartalmazza bármely eleme ($\Omega$-ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementerképzés műveletére, azaz $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow {\overline {A}}\in {\mathcal {A}}$.

3. ${\mathcal {A}}$ tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz $A_{i}\in {\mathcal {A}}(i\in \mathbb {N} )\Rightarrow \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$.

A 3. axiómából ered a fogalom elnevezése, mivel az $\bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}$-t régies jelöléssel $\sum _{i=0}^{\infty }A_{i}$-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok görög nagy szigma betűvel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni.

Amint a halmazalgebra cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "${\mathcal {A}}$ tartalmazza az üres halmazt ($\emptyset$-t, avagy a valószínűségszámításban a lehetetlen eseményt)", akár az "${\mathcal {A}}$ tartalmazza az univerzális halmazt ($\Omega$-t, avagy a valószínűségszámításban a biztos eseményt)" tulajdonsággal, azaz az $\emptyset \in {\mathcal {A}}$, vagy akár az $\Omega \in {\mathcal {A}}$ axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "${\mathcal {A}}$ zárt a különbségképzésre", azaz $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}$ axiómával is.

Mérhető tér

Az $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ rendezett párt mérhető térnek nevezzük, ${\mathcal {A}}$ elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Összefüggés más struktúratípusokkal

A σ-algebrához legközelebbi struktúrafajta a λ-rendszer fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a σ-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.

Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy A véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az egyszerű halmaztest fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a topologikus tér fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény

Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett rendezett pár, a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő A halmaza. Magát az (Ω, A) párt mérhető térnek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns).

Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok

Halmazalgebra

Tetszőleges σ-algebra egyben halmazalgebra is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az Ω tartóhalmazzal (l. o.).

Megszámlálható metszetképzésre való zártság

A halmazalgebrákhoz képest egy σ-algebra a megszámlálhatóan végtelen sok tényezős metszetképzésre is zárt. E kijelentés alapja a de Morgan-törvény általánosítása végtelen unióra/metszetre: ha $I$ tetszőleges indexhalmaz, akkor

${\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}=\bigcup _{i\in I}{\overline {A}}_{i}$.

Képezve mindkét oldal komplementerét:

$\bigcap _{i\in I}A_{i}={\overline {\bigcup _{i\in I}{\overline {A}}_{i}}}$.

Ha mármost σ-algebrában vagyunk, azaz A₀, A₁, …, A_n, … legfeljebb megszámlálható sok tagú ${\mathcal {A}}$-beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően

$\bigcap _{i=0}^{\infty }A_{i}={\overline {\bigcup _{i=0}^{\infty }{\overline {A}}_{i}}}$.

Ha ${\mathcal {A}}$ σ-algebra, akkor ${\overline {A}}_{i}\in {\mathcal {A}}$ minden $i\in \mathbb {N}$-re, és így az utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme ${\mathcal {A}}$-nak, ■ QED.

Leszűkítés

Legyen Ω tetszőleges halmaz, Λ⊆Ω és A σ-algebra az Ω felett. Legyen továbbá A_|Λ := {X∩Λ | X∈A}. Ekkor (Λ, A_|Λ) mérhető tér az Ω felett, amit az (Ω A) tér Λ-ra vonatkozó leszűkítésének nevezünk és (Ω A)_|Λ jelöl.

Generált algebra

Igen fontos eszköz a σ-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:

Tétel: Legyen Ω tetszőleges halmaz, és G⊆P(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(G) σ-algebra, amelynek A minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó σ-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).

Szorzattér

Ha (Φ, X) és (Ψ, Y) két mérhető tér, akkor a (Φ×Ψ, σ(X×Y)) is mérhető tér. Ezt a két mérhető tér által generált szorzattérnek vagy szorzat-σ-algebrának mondjuk.

Példák

1. Tetszőleges nemüres Ω halmaz felett σ-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, Ω} halmaz, ez az Ω feletti triviális σ-algebra.
2. Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆P(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti teljes σ-algebra.
3. Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig σ-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti σ-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még atomhalmaz.
4. Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a generált σ-algebra c. fejezetben.

Hivatkozások

Lásd még

• halmazalgebra
• topologikus tér

További információk

• Hatványhalmazok szorzatszigmaalgebrái (PDF).