Krilov–Bogoljubov-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben a Krilov–Bogoljubov-tétel (illetve az invariáns mérték létezésének tétele) alapvető fontosságú eredmény a dinamikai rendszerek elméletében. A tétel garantálja, hogy kompakt metrizálható térben egy adott függvényhez létezzen olyan Lebesgue-mérték (wd), mely nem változtatja meg tetszőleges mérhető halmaz mértékét, ha azon az függvény ősképe hat. A tétel Nyikolaj Mitrofanovics Krilov (wd) és tanítványa, Nyikolaj Bogoljubov (wd) Kijevben tevékenykedő orosz matematikusok és elméleti fizikusok után kapta a nevét.

A tétel állítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha (X,d) kompakt metrikus tér, F : XX folytonos függvény, akkor étezik olyan μ:Borel(X) → [0, 1] valószínűségi Borel-mérték, melyre:

\mu \left( F^{-1} (A) \right) = \mu (A).

ahol A tetszőleges Borel-halmaz.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen C(X,R) = {f: XR | „f folytonos” } és F ∈ C(X,X), de nem feltétlenül invertálható. Rögzítsünk továbbá egy x pontot X-ben.

Létezik megszámlálható sűrű halmaz C(X,R)-ben, legyen ez

\{\varphi_m\}_{m=1}^{\infty}

Definiáljuk a következő kettős indexű sorozatot:

s_n^{(m)}=\frac{1}{n}\sum\limits_{l=0}^{n-1}\varphi_m(F^l(x))

ahol Fl az F saját magával vett l-szeres függvénykompozícióját jelöli. Világos, hogy ez a sorozat korlátos, mert X kompakt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint adott m-re létezik (nk) indexsorozat, hogy:

\exists \lim_{k\to \infty}s^{(m)}_{n_k}\in X

Most definiálunk egy folytonos lineáris funkcionált C(X,R)-en, ami a Riesz-féle reprezentációs tétel értelmében indukál egy mértéket. Ezt egy konvergens függvénysorozat segítségével tesszük. Legyen

I^{(k)}: C(X)\rightarrow \mathbf{R};\quad I^{(k)}(\varphi)=\frac{1}{n_k}\sum\limits_{l=0}^{n_k-1}\varphi(F^l(x))

Ennek tulajdonságai:

  1. I(k) lineáris funkcionál
  2. ||I(k)||≤1
  3. I(k)m) konvergens minden m-re (tehát a {φm} sűrű halmazon)

ekkor a Banach–Steinhaus-tétel(wd) miatt a I(k) függvénysorozat pontonként konvergens és határfüggvénye:

I(\varphi)=\lim\limits_{k \to \infty}\frac{1}{n_k}\sum\limits_{l=0}^{n_k-1}\varphi(F^l(x))

I tulajdonságai:

  1. folytonos lineáris funkcionál
  2. 0 ≤ φ, akkor 0 ≤ I(φ)
  3. φ* ≡ 1, akkor I(φ*) ≡ 1

így a reprezentációs tétel szerint létezik μ: Borel(X) → [0, 1] mérték, hogy

I(\varphi)=\int\limits_{X}\varphi\;\mathrm{d}\mu

Lemma. Minden φ ∈ C(X,R)-re I\circ F) = I(φ), azaz

\int\limits_{X}\varphi\circ F\;\mathrm{d}\mu=\int\limits_{X}\varphi\;\mathrm{d}\mu

Ugyanis a k-adik tagok különbsége a függvénysorozatban:

\frac{1}{n_k}\sum\limits_{l=0}^{n_k-1}(\varphi\circ F)(F^l(x))-\frac{1}{n_k}\sum\limits_{l=0}^{n_k-1}(\varphi(F^l(x))=\frac{1}{n_k}(\varphi(F^{n_k}(x))-\varphi(x))\to 0

hiszen az F egyel eltolt hatványai kioltják egymást, csak az első és az utolsó tag marad meg.

Az invariáns mértéket elég a Borel(X) nyílt halmazain megadni. Ha U nyílt halmaz, akkor a karakterisztikus függvényét kibélelhetjük hozzá alulról konvergáló folytonos függvényekkel, melyekre a fenti egyenlőség áll, így a határfüggvényre is teljesülni fog. Világos továbbá az is, hogy:

\mu(U)=\int\limits_{X}\chi_U\;\mathrm{d}\mu=\int\limits_{X}\chi_U\circ F\;\mathrm{d}\mu=\mu(\{z\in X\mid (\chi_U\circ F)(z)=1\})=
=\mu(\{z\in X\mid F(z)\in U\})=\mu(F^{-1}(U))

ami ekvivalens az invarianciával.

Magyarázat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel motivációja a folytonos dinamikai rendszerek pályáira vett időátlag-integrál. Legyen Φ(t,x) olyan folytonos dinamikai rendszer az X kompakt metrikus térben, mely az

\dot{x}=f(x)\,

differenciálegyenletből készült a megoldásgörbék összegyűjtésével. Ekkor a fenti bizonyításban lévő I integrál-funkcionál értelme a következő. Rögzítsünk egy x pontot, és az ezen a ponton áthaladó Φ(t,x) megoldásgörbét. Az x pont választásával a Krilov–Bogoljubov-tétel által generált mérték a φ folytonos függvénynek az x ponton áthaladó megoldásra vett időátlaga:

\overline{\varphi}^{(\mathrm{t})}=\lim\limits_{T\to \infty}\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}\varphi(\Phi(t,x))\;\mathrm{d}t=\int\limits_{X}\varphi\;\mathrm{d}\mu_x

(limesz nélkül például a benzinfogyasztás átlagos mértéke egy óra, a pályán töltött idő alatt). A fenti képlet jelentést nagyjából csak akkor hordoz, hogy ha a pálya periodikus, hiszen ekkor van értelme az időátlagot a T határértékeként számolni (például a váltóáram átlagteljesítményét végtelenbe vett T-vel lehet számolni – aperiodikus váltakozás ekkor átlagolódik ki.)

Ugyanez az F folytonos leképezés által definiált Fn(x) dinamikai rendszernél az I bizonyításbeli szummás képlete:

\lim_{k\to \infty}\limits\frac{1}{k}\sum\limits_{l=0}^{k-1}\varphi(F^l(x))

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]