Krilov–Bogoljubov-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben a Krilov–Bogoljubov-tétel (illetve az invariáns mérték létezésének tétele) alapvető fontosságú eredmény a dinamikai rendszerek elméletében. A tétel garantálja, hogy kompakt metrizálható térben egy adott függvényhez létezzen olyan Lebesgue-mérték , mely nem változtatja meg tetszőleges mérhető halmaz mértékét, ha azon az függvény ősképe hat. A tétel Nyikolaj Mitrofanovics Krilov (wd) és tanítványa, Nyikolaj Bogoljubov (wd) Kijevben tevékenykedő orosz matematikusok és elméleti fizikusok után kapta a nevét.

A tétel állítása[szerkesztés]

Ha (X,d) kompakt metrikus tér, F : XX folytonos függvény, akkor létezik olyan μ: Borel(X) → [0, 1] valószínűségi Borel-mérték, melyre:

ahol A tetszőleges Borel-halmaz.

Bizonyítás[szerkesztés]

Legyen C(X,R) = {f: XR | „f folytonos” } és F ∈ C(X,X), de nem feltétlenül invertálható. Rögzítsünk továbbá egy x pontot X-ben.

Létezik megszámlálható sűrű halmaz C(X,R)-ben, legyen ez

Definiáljuk a következő kettős indexű sorozatot:

ahol Fl az F saját magával vett l-szeres függvénykompozícióját jelöli. Világos, hogy ez a sorozat korlátos, mert X kompakt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint adott m-re létezik (nk) indexsorozat, hogy:

Most definiálunk egy folytonos lineáris funkcionált C(X,R)-en, ami a Riesz-féle reprezentációs tétel értelmében indukál egy mértéket. Ezt egy konvergens függvénysorozat segítségével tesszük. Legyen

Ennek tulajdonságai:

  1. (k) lineáris funkcionál
  2. ||(k)||≤1
  3. (k)m) konvergens minden m-re (tehát a {φm} sűrű halmazon)

ekkor a Banach–Steinhaus-tétel(wd) miatt a (k) függvénysorozat pontonként konvergens és határfüggvénye:

tulajdonságai:

  1. folytonos lineáris funkcionál
  2. 0 ≤ φ, akkor 0 ≤ (φ)
  3. φ* ≡ 1, akkor (φ*) ≡ 1

így a reprezentációs tétel szerint létezik μ: Borel(X) → [0, 1] mérték, hogy

Lemma. Minden φ ∈ C(X,R)-re F) = (φ), azaz

Ugyanis a k-adik tagok különbsége a függvénysorozatban:

hiszen az F eggyel eltolt hatványai kioltják egymást, csak az első és az utolsó tag marad meg.

Az invariáns mértéket elég a Borel(X) nyílt halmazain megadni. Ha U nyílt halmaz, akkor a karakterisztikus függvényét kibélelhetjük hozzá alulról konvergáló folytonos függvényekkel, melyekre a fenti egyenlőség áll, így a határfüggvényre is teljesülni fog. Világos továbbá az is, hogy:

ami ekvivalens az invarianciával.

Magyarázat[szerkesztés]

A tétel motivációja a folytonos dinamikai rendszerek pályáira vett időátlag-integrál. Legyen Φ(t,x) olyan folytonos dinamikai rendszer az X kompakt metrikus térben, mely az

differenciálegyenletből készült a megoldásgörbék összegyűjtésével. Ekkor a fenti bizonyításban lévő integrál-funkcionál értelme a következő. Rögzítsünk egy x pontot, és az ezen a ponton áthaladó Φ(t,x) megoldásgörbét. Az x pont választásával a Krilov–Bogoljubov-tétel által generált mérték a φ folytonos függvénynek az x ponton áthaladó megoldásra vett időátlaga:

(limesz nélkül például a benzinfogyasztás átlagos mértéke egy óra, a pályán töltött idő alatt). A fenti képlet jelentést nagyjából csak akkor hordoz, hogy ha a pálya periodikus, hiszen ekkor van értelme az időátlagot a T határértékeként számolni (például a váltóáram átlagteljesítményét végtelenbe vett T-vel lehet számolni – aperiodikus váltakozás ekkor átlagolódik ki.)

Ugyanez az F folytonos leképezés által definiált Fn(x) dinamikai rendszernél az I bizonyításbeli szummás képlete:

Források[szerkesztés]