Komplex derivált

A komplex differenciálhatóság a valós-valós függvények deriválhatóság-fogalmának komplex általánosítása. Az f komplex függvényről tegyük fel, hogy értelmezve van a z₀ komplex szám egy nyílt környezetében. Akkor mondjuk, hogy f komplex értelemben differenciálható a z₀-ban, la létezik és egy komplex számmal egyenlő a következő határérték:

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

Ebben az esetben az $f$ '$(z_{0})$ számot a függvény $z_{0}$-beli komplex deriváltjának nevezzük. A mindenhol értelmezett és mindenhol komplex differenciálható függvényeket holomorf függvényeknek nevezzük. A komplex analízis legjelentősebb eredménye, hogy a holomorf függvények végtelenszer komplex differenciálhatóak, sőt analitikusak, azaz minden pont egy környezetében a függvény előáll Taylor-sor formájában.

Szükséges és elégséges feltételek

Egy f = u + iv komplex függvény legyen értelmezve a z = x + i y szám egy környezetében. f akkor és csak akkor differenciálható komplex módon a z pontban, ha

1. f totálisan differenciálható az (x,y) pontban mint kétváltozós függvény és

2. az u, v komponensfüggvények teljesítik a Cauchy–Riemann-egyenleteket az (x,y) pontban.

Riemann megmutatta, hogy a komplex derivált létezéséhez elegendő ellenőrizni, hogy a függvény az adott pontban teljesíti-e a Cauchy–Riemann-egyenleteket és a parciális deriváltak folytonosak az adott pontban. Ennél azonban kevesebbet is elég vizsgálni. Looman tétele szerint ha a függvény folytonos és fennállnak rá a Cauchy–Riemann-egyenletek, a függvény már akkor is komplex deriválható.

Példák

1. Az f(z)= zⁿ komplex hatványfüggvény differenciálhatósága ugyanúgy igazolható (például a binomiális tétel felhasználásával), mint a valós hatványfüggvényé:

$f'(z)=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{n}-z^{n}}{h}}=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {-z^{n}+\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}\cdot h^{k}}{h}}=$

$=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {-z^{n}+z^{n}+nz^{n-1}h+h^{2}\sum \limits _{k=2}^{n}{n \choose k}z^{n-k}\cdot h^{k-2}}{h}}=$

$=\lim \limits _{h\to 0}nz^{n-1}+h\sum \limits _{k=2}^{n}{n \choose k}z^{n-k}\cdot h^{k-2}=nz^{n-1}$

hiszen rögzített z-re g(h) = $\sum _{k=2}^{n}{n \choose k}z^{n-k}\cdot h^{k-2}$ például |h| < 1 esetén korlátos, h$\cdot$g(h) pedig h $\to$ 0 esetén „korlátos szor nullához tartó”, azaz 0-hoz tart.

2. Az $f(z)={\frac {1}{z}}$ reciprok függvény ugyanúgy differenciálható (z ≠ 0) esetben, mint a valós reciprok.