Inverz négyzetes törvény

Az inverz négyzetes törvény egy fizikai törvény, mely azt állítja, hogy bizonyos fizikai mennyiségek vagy intenzitások fordítottan arányosak a távolság négyzetével, ahol a távolságot a fizikai mennyiség forrásától számítják.

Az ábrán, a vonalak reprezentálják a fluxust, melyet a S forrás sugároz ki. A fluxusvonalak teljes száma a forrás erősségétől függ, és nem függ a növekvő távolságtól. Nagyobb fluxussűrűség (vonalak száma egységnyi területen) erősebb mezőt jelent. A fluxusvonalak sűrűsége fordítottan arányos a forrástól való távolság négyzetével, mert egy gömb felszíne az átmérő négyzetével arányosan nő.

A vektormező divergenciája, mely a radiális inverz négyzetes törvény szerinti mezők eredménye, mindenhol arányos a helyi források erősségével. A Newton-féle gravitációs törvény az inverz négyzetes törvénynek felel meg, mint az elektromos, mágneses, fény, és sugárzási jelenségek.

Igazolás

Az inverz négyzetes törvény minden olyan esetre alkalmazható, amikor egy pontszerű forrás a háromdimenziós térbe sugároz kifelé energiát, vagy bármilyen más mennyiséget. Mivel egy gömb felszíne az átmérő négyzetével arányos ( $A=4\pi r^{2}\,$ ) a sugárzás növekvő arányban terjed szét, a forrástól való távolság négyzetével arányosan. Ezért az egységnyi felületen áthaladó sugárzás erőssége fordítottan arányos a pontszerű forrástól való távolsággal.

A Gauss-törvény is ennek felel meg, és más esetekben is alkalmazható az inverz négyzetes törvény.

Előfordulás

Gravitáció

A gravitáció két tárgy egymásra hatása a tömegük alapján. A gravitációs hatás két pontszerű tömeg közötti erőhatás, mely arányos a tömegek szorzatával, és négyzetesen fordítottan arányos az egymástól való távolságukkal. Az erő mindig a tömegek középpontja mentén hat.

Ha mindkét test anyag eloszlása gömbszimmetrikus, akkor a tárgyakat pontszerű tömegnek lehet tekinteni, ahogy azt a gömbhéj-elmélet tárgyalja. Máskülönben, ha tömegek egymásra hatását szeretnénk kiszámítani, akkor szükség lenne minden pont-pont közötti erő vektorára, és a végeredmény nem lenne pontosan inverz négyzetes.

A gravitációs törvény Ismael Bullialdus, francia asztronómus ötlete volt 1645-ben, aki egyébként nem fogadta el Kepler második és harmadik törvényét, és Christiaan Huygens elméletét sem, mely a cirkuláris mozgásokról szól. Robert Hooke és Giovanni Alfonso Borelli^[1] is részletes magyarázatot adott a gravitációról 1666-ban. 1979-ben, Hooke úgy gondolta, hogy a gravitációnak inverz négyzetes függése van, és erről levélben is kommunikált Isaac Newtonnal. Később, Hooke keserű szájízzel fogadta, hogy Newton magának igényelte az elv felfedezését a “Principia” című művében, bár Newton megemlítette Hooke-t, Wren és Halleyvel együtt, akik egymástól függetlenül felismerték a négyzetes törvényt a Naprendszerben, továbbá Newton megemlítette Bullialdus munkásságát is.^[2]

Elektrosztatika

Két elektromosan töltött részecske között az erőhatás arányos az elektromos töltés szorzatával, és négyzetesen fordítottan arányos a köztük lévő távolsággal, ez Coulomb-törvény néven ismert. A 2-es kitevőtől való eltérés kevesebb, mint 10^-15.^[3]

Fény és más elektromágneses sugárzások

A fény intenzitás, vagy más lineáris hullám, mely egy pontszerű forrásból sugároz, a távolságtól inverz négyzetes törvény szerint működik, azaz, ha egy tárgy kétszer messzebb van (hasonló méretben), akkor csak az energia negyedét kapja. Még általánosabban: a sugárzási teljesítmény, azaz a gömbi hullámfront intenzitása, inverz négyzetes arányban változik a távolság függvényében (feltéve, hogy nincs abszorpció, vagy szórás).

Példa 1

A napsugárzás intenzitása a Merkúr felszínén 9126 watt négyzteméterenként, de csak 1967 watt a Föld felszínén, vagyis közel háromszoros távolság kilencszeres különbséget okoz. A fotógráfiában és a színházi megvilágításnál is az inverz négyzetes törvény szerint kalkulálják ki a megvilágított tárgy megvilágítását. Ha fényforrás nagysága kevesebb, mint 1/5-e a megvilágított tárgytól való távolságnak, akkor a hiba kevesebb, mint 1%. Ez a törvény igen fontos a radiográfiában és a radioterápiás kezeléseknél is.

Példa 2

Legyen egy omnidirekcionális, izotrópikus antenna teljes kisugárzott energiája: P. A forrástól nagy távolságokban az energia egyre nagyobb gömbi felszínen terjed ki, ahogy a forrástól távolodik. Mivel a gömb felszíne r sugár esetén A=4πr², az I intenzitás (energia egységnyi területen):

I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,

Az energia vagy intenzitás csökken (4-gyel osztva), ha a távolság megduplázódik. Decibelben a csökkenés 6.02 dB, a távolság duplázódásakor.

Irodalom

Williams, Faller, Hill, E.; Faller, J.; Hill, H: New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass. (hely nélkül): Physical Review Letters 26 (12. 1971. 721–724. o.

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ Hooke's gravitation was also not yet universal, though it approached universality more closely than previous hypotheses: See page 239 in Curtis Wilson (1989), "The Newtonian achievement in astronomy", ch.13 (pages 233–274) in "Planetary astronomy from the Renaissance to the rise of astrophysics: 2A: Tycho Brahe to Newton", CUP 1989.
↑ Newton acknowledged Wren, Hooke and Halley in this connection in the Scholium to Proposition 4 in Book 1 (in all editions): See for example the 1729 English translation of the 'Principia', at page 66.
↑ Williams, Faller, Hill, E.; Faller, J. & Hill, H. (1971), "New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass", Physical Review Letters 26 (12): 721–724, DOI 10.1103/PhysRevLett.26.721

[1] Hooke's gravitation was also not yet universal, though it approached universality more closely than previous hypotheses: See page 239 in Curtis Wilson (1989), "The Newtonian achievement in astronomy", ch.13 (pages 233–274) in "Planetary astronomy from the Renaissance to the rise of astrophysics: 2A: Tycho Brahe to Newton", CUP 1989.

[2] Newton acknowledged Wren, Hooke and Halley in this connection in the Scholium to Proposition 4 in Book 1 (in all editions): See for example the 1729 English translation of the 'Principia', at page 66.

[3] Williams, Faller, Hill, E.; Faller, J. & Hill, H. (1971), "New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass", Physical Review Letters 26 (12): 721–724, DOI 10.1103/PhysRevLett.26.721

[1]

[2]

[3]