|
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! |
A matematikai analízis nevezetes Hermite–Hadamard-egyenlőtlensége Charles Hermite és Jacques Hadamard matematikusokról kapta nevét. Az egyenlőtlenség azt állítja, hogy amennyiben
ƒ : [a, b] → R konvex függvény, akkor
Geometriailag az egyenlőtlenség azt állítja, hogy a konvex f függvény [a,b] intervallumon számított integrálja (vagyis az f grafikonja alatti terület) nagyobb vagy egyenlő, mint a b-a és f((a+b)/2) méretekkel rendelkező téglalap területe, valamint kisebb vagy egyenlő az (a,0);(a,f(a));(b,f(b));(b,0) csúcsokkal rendelkező trapéz területénél. Az egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha f lineáris függvény. A fenti egyenlőtlenség ekvivalens f Jensen konvexitásával.
Az egyenlőtlenség jobb oldalának egyik legtermészetesebb általánosítása Retkes Zoltán nevéhez fűződik. Ahhoz, hogy az általános eredményt meg tudjuk fogalmazni, be kell vezetni az f iterált integráljainak fogalmát. Valójában ez a fogalom a deriválás negatív egész kitevőjű kiterjesztése. Az antiderivált kifejezés így nyer értelmet.
Az iterált integrálok sorozata[szerkesztés]
Tegyük fel, hogy −∞<a<b<∞, és legyen f:[a,b]→ℝ integrálható valós függvény [a,b]-n.
A fenti feltételek mellett az f iterált integráljainak sorozatát a következőképp definiáljuk az a≤s≤b értékekre:
![{\displaystyle F^{(0)}(s):=f(s),\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c96171fb430644a2ba5a2dace63937f5cdb63d)
![{\displaystyle F^{(1)}(s):=\int _{a}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{a}^{s}f(u)du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec878d62b819eaaf3a20f57735f8afa57fed5ec)
![{\displaystyle F^{(2)}(s):=\int _{a}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{a}^{s}\left(\int _{a}^{t}f(u)du\right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2b0efcc7a49d8b00dc9f549a0c858c14f41e2a)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle F^{(n)}(s):=\int _{a}^{s}F^{(n-1)}(u)du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf0ddfdf73828fe78688f05ce5395e75dd426c9)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
Legyen [a,b]=[0,1] és f(s)≡1. Ekkor a konstans 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0,1]-en, és
![{\displaystyle F^{(0)}(s)=1,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96276e1a8bc28921c5c0c6fb11030ae9690cbc6f)
![{\displaystyle F^{(1)}(s)=\int _{0}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{0}^{s}1du=s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab29a3055eef4a8fc1dcf898325b61abb4c9334)
![{\displaystyle F^{(2)}(s)=\int _{0}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{0}^{s}udu={s^{2} \over 2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b68d4d83763ccb84a50eca20a03e39fde487ac9)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle F^{(n)}(s):=\int _{0}^{s}{u^{n-1} \over (n-1)!}du={s^{n} \over n!},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29ff5dcf8693caa5c4a5bd0c85f9e27e78b2bb0)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
Legyen [a,b]=[-1,1] és f(s)≡1. Ekkor az 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [-1,1]-en, és
![{\displaystyle F^{(0)}(s)=1,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96276e1a8bc28921c5c0c6fb11030ae9690cbc6f)
![{\displaystyle F^{(1)}(s)=\int _{-1}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{-1}^{s}1du=s+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c05236eccf8f5a2f971c4eea733e86b421ea67)
![{\displaystyle F^{(2)}(s)=\int _{-1}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{-1}^{s}(u+1)du={s^{2} \over 2!}+{s \over 1!}+{1 \over 2!}={(s+1)^{2} \over 2!},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c5f70fd4ebaa48c99ca14303f45f7f5a5efeff)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle F^{(n)}(s)={s^{n} \over n!}+{s^{(n-1)} \over {(n-1)!1!}}+{s^{(n-2)} \over (n-2)!2!}+\dots +{1 \over n!}={(s+1)^{n} \over n!},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1f47b28c758fe0dc49297ae1377a44cd6a9c62)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
Legyen [a,b]=[0,1] és f(s)=es. Ekkor az f függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0,1]-en, és
![{\displaystyle F^{(0)}(s)=e^{s},\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a6a488cac75b165e2238b671e29343746e1c4f)
![{\displaystyle F^{(1)}(s)=\int _{0}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{0}^{s}e^{u}du=e^{s}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3245789e2c2c5913a8a6288d3e5d55f07fccf3d2)
![{\displaystyle F^{(2)}(s)=\int _{0}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{0}^{s}(e^{u}-1)du=e^{s}-s-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2240f9eb6b7e3d0a48153c71d4d39c3393d3b8f)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle F^{(n)}(s)=e^{s}-\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {s^{i}}{i!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5684c90cadd713b956a4a45b818858444c9f678d)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
Tétel (Retkes-egyenlőtlenség)[szerkesztés]
Tegyük fel, hogy −∞<a<b<∞, legyen f:[a,b]→R konvex függvény, a<xi<b, i=1,...,n olyanok, hogy xi≠xj, ha i≠j. Ekkor a következő egyenlőtlenség áll fenn:
ahol
A konkáv esetben ≤ helyett ≥ érvényes.
Megjegyzés 1. Ha f szigorúan konvex, akkor ≤ helyett < érvényes, valamint egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f lineáris.
Megjegyzés 2. Az egyenlőtlenség a következő értelemben éles: legyenek
és
Ekkor a bal oldal határértéke létezik és
Alkalmazások (Retkes-azonosságok)[szerkesztés]
A Retkes-egyenlőtlenség egyik legfontosabb alkalmazása a következő: legyen
és
. Ekkor az iterált integrálokra
Mivel
szigorúan konvex, ha
, szigorúan konkáv, ha
, valamint lineáris az
esetekben, így az alábbi egyenlőtlenségek, illetve azonosságok állnak fenn:
![{\displaystyle \quad 1<\alpha \quad \quad \quad \quad {\frac {1}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \ldots \cdot (\alpha +n-1)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{\alpha +n-1}}{\Pi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}<{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be071c6f9bcc4e00e5360fd2e109c72a8200b444)
![{\displaystyle \quad \alpha =1\quad \quad \quad \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots \,x_{n})}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc63e7147e2221c967820778cf494000450710b9)
![{\displaystyle \quad 0<\alpha <1\quad \quad {\frac {1}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \ldots \cdot (\alpha +n-1)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{\alpha +n-1}}{\Pi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}>{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6be35b0d7baa90fc1ce2c99742f8959f6fcd3bb)
![{\displaystyle \quad \alpha =0\quad \quad \quad \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n-1}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots \,x_{n})}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463274390177ce4a3ed712852476a133dbfe2513)
Az
esetből következik a Retkes-konvergenciakritérium, hiszen az azonosság jobb oldalán éppen a
sor n-edik részletösszege áll.Tegyük fel a továbbiakban, hogy
. Ekkor a második és negyedik azonosságban
helyett
-t helyettesítve kapunk két új algebrai azonosságot. Az így nyerhető négy azonosságot nevezzük Retkes-azonosságoknak, melyek a következők:
![{\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots \,x_{n})}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c625aaf21c6865ca7f4a1a21cb938d88379fd406)
![{\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n-1}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots \,x_{n})}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37059b0fd86febb6909dab3419eb7c9d558e03c)
![{\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}=(-1)^{n-1}\prod _{i=1}^{n}x_{i}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{{x_{i}}^{2}\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994453925bc9d3cec75e99cdd2ad07701feed740)
![{\displaystyle \quad \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}=(-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecdbeea35612629226a12259f6c07e9b1922c39)
- Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, volume 58, 1893, pages 171–215.
- Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.
- Zoltán Retkes, "Applications of the extended Hermite–Hadamard inequality", Journal of Inequalitites in Pure and Applied Mathematics (JIPAM), Vol 7, issue 1, article 24, (2006)
- Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, volume 115, April 2008, pages 339–345.