Előjeles számjegyes reprezentáció

A matematikai helyi értékes számrendszerekben az előjeles számjegyes reprezentáció azt jelenti, hogy vannak pozitív és negatív számjegyek is.

A számítások egyszerűsítésének igénye miatt Colson (1726) és Cauchy (1840) elkezdett negatív számjegyeket is használni. Selling (1887) és Cajori (1928) a negált számjegyeket újakkal helyettesítette.

Az előjeles számjegyes reprezentáció alacsony szintű programokban és akár hardveresen is gyorsíthatja a számolást, mivel csökkenti az átvitelek számát. A kettes számrendszerben a 0, 1, -1 jegyek használatával olyan számábrázolás is létezik, amivel minden egész egyértelműen ábrázolható, ha kikötjük, hogy minden nem nulla számjegyet el kell választania legalább egy nullának.^[1] A kiegyensúlyozott hármas számrendszert a szteganográfiában használják.

Kiegyensúlyozott számrendszerek

Ha a számrendszer alakja b, akkor az előjeles számjegyes számábrázolásokban a jegyek általában $-k$ -tól $(b-1)-k$ -ig terjednek. Az előjeles számjegyes számábrázolás kiegyensúlyozott, ha $k=\left\lfloor {\frac {b}{2}}\right\rfloor$ . Ha az alap páratlan, akkor az utolsó jegyek levágása éppen a kerekítés.

Ismert példa a kiegyensúlyozott hármas számrendszer, ami a 0, 1, -1 jegyeket használja. A normál hármas és kilences számrendszerekhez hasonló a kiegyensúlyozott hármas és kilences számrendszer kapcsolata, azaz egyszerű átváltani a kettő között. A kiegyensúlyozott tízes számrendszerben a jegyek −5-től +4-ig terjednek; a kiegyensúlyozott kilences számrendszerbeli számok hosszúsága a tízes számrendszeréhez hasonló.

További nevezetes példák a 0, 1, -1 jegyeket használó kettes számrendszer számábrázolásainak egyértelművé tételei az egész számok körében.

Nem egyértelmű reprezentációk

Az előjeles számjegyeket használó reprezentáció nem mindig egyértelmű. Például:

(0 1 1 1)₂ = 4 + 2 + 1 = 7

(1 0 −1 1)₂ = 8 − 2 + 1 = 7

(1 −1 1 1)₂ = 8 − 4 + 2 + 1 = 7

(1 0 0 −1)₂ = 8 − 1 = 7

Ha viszont kikötjük, hogy csak azokkal az alakokkal foglalkozunk, amelyekben minden nem nulla számjegyet elválaszt legalább egy nulla, akkor újra egyértelművé válik a számábrázolás. Angol nevéből rövidítve a NAF jelöli a továbbiakban.

A nem előjeles számrendszerekhez hasonlóan a kiegyensúlyozott számrendszerek és a fenti típusú kettes számrendszer egyértelműsége is elvész, ha kiterjesztjük a nem egész számokra:

(0 , (1 0) …)_NAF =

{\frac {2}{3}}

= (1 , (0 −1) …)_NAF

Továbbá:

(0 , 4 4 4 …)_(10bal) =

{\frac {4}{9}}

= (1 , -5 -5 -5 …)_(10bal)

A hasonló példák létezése belátható, ha megfigyeljük a lehetséges legnagyobb és legkisebb jegyeket használó reprezentációkat, és átszámítva látjuk, hogy értékük megegyezik.

A nyelvekben

A latin nyelv a 10 fölötti számoknál a kerek tízesekből visszafelé számol:

septemdecim XVII (17)
duodeviginti XVIII (18)
undeviginti XVIIII, vagy XIX (19)
viginti XX (20)
unus et viginti XXI (21)
duo et viginti XXII (22)
...
duodetriginti XXVIII (28)
undetriginti XXVIIII, vagy XXIX (29)
triginti XXX (30)
unus et triginti XXXI (31)
duo et triginti XXXII (32)
...

A pandzsábi nyelv hasonló rendszert használ:

19 unni, 20 vih, 21 ikki
29 unatti, 30 tih, 31 ikatti
39 untali, 40 chali, 41 iktali
49 unanja, 50 panjah, 51 ikvanja
59 unahat, 60 sath, 61 ikahat
69 unattar, 70 sattar, 71 ikhattar
79 unasi, 80 assi, 81 ikiasi
89 unanve, 90 nabbe, 91 ikinnaven.

1928-ban Florian Cajori is elkezdett foglalkozni qaz előjeles számjegyekkel Colson (1726) és Cauchy (1840) nyomán. A History of Mathematical Notations című könyvében Cajori külön szakaszt szentelt a negatív számoknak.^[2] Eduard Selling^[3] az 1, 2, 3, 4, és 5 számjegyek megfordítását javasolta a negatív jegyek jelölésére, továbbá szóbeli megnevezést is javasolt hozzájuk: snie, jes, jerd, reff, és niff. Azonban a legtöbb korai szerzőhöz hasonlóan felülvonást használt. Colson^[4] példákkal is bemutatta az összeadást (pp 163,4), a szorzást (pp 165,6) és az osztó többszöröseit tartalmazó segédtáblázattal az osztást (pp 170,1). A csonkításos kerekítés kényelmét is kifejtette. Colson egy segédeszközt is tervezett, amivel előjeles jegyekkel lehetett számolni.

Jegyzetek

↑ Dhananjay Phatak, I. Koren, Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains, 1994, [1] Archiválva 2007. október 17-i dátummal a Wayback Machine-ben
↑ Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. Dover Publications, 57. o. [1928-1929] (1993). ISBN 0486677664
↑ Eduard Selling (1887) Eine neue Rechenmachine, pp. 15–18, Berlin
↑ John Colson (1726) "A Short Account of Negativo-Affirmativo Arithmetik", Philosophical Transactions of the Royal Society 34:161–73. Available as Early Journal Content from JSTOR

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Signed-digit representation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk

Számpéldák, érdekességek

[1] Dhananjay Phatak, I. Koren, Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains, 1994, [1] Archiválva 2007. október 17-i dátummal a Wayback Machine-ben

[2] Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. Dover Publications, 57. o. [1928-1929] (1993). ISBN 0486677664

[3] Eduard Selling (1887) Eine neue Rechenmachine, pp. 15–18, Berlin

[4] John Colson (1726) "A Short Account of Negativo-Affirmativo Arithmetik", Philosophical Transactions of the Royal Society 34:161–73. Available as Early Journal Content from JSTOR

[1]

[2]

[3]

[4]