Clausen-függvény

A matematikában a Clausen-függvényt a következő integrál definiálja:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int \limits _{0}^{\theta }\log |2\sin(t/2)|\,dt.$

A definíció Thomas Clausen (1801 – 1885) dán matematikus nevéhez fűzödik (1932).

A Lobacsevszkij-függvény, Λ vagy Л, lényegében hasonló függvény más változókkal:

$\Lambda (\theta )=-\int \limits _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2.$

Meg kell jegyezni, hogy a “Lobacsevszkij-függvény” elnevezés nem teljesen pontos történetileg, mivel Lobacsevszkij képlete hiperbolikus mennyiségekre kissé különböző:

$\int \limits _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2$

Általános definíció

$\operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}$

mely a komplex s- re érvényes, Re s >1 mellett. A definíció kiterjeszthető az egész komplex síkra az analitikus folytatás módszerével.

Kapcsolat a polilogaritmussal

$\operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{s}(e^{i\theta }))$

Kummer-féle kapcsolat

Ernst Kummer által felfedezett úgynevezett Kummer-függvény egyike kapcsolódik a polilogaritmushoz:

$\operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

érvényes: $0\leq \theta \leq 2\pi$.

Sorozat gyorsítás

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{n}$

mely érvényes: $|\theta |<2\pi$. Itt a $\zeta (s)$, a Riemann zéta függvény. Egy még gyorsabban konvergáló formula:

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{n}$

A konvergenciát segíti az a tény, hogy $\zeta (n)-1$ közelít zéróhoz n nagy értékeinél.

Speciális értékek

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=G$

ahol G a Catalan-állandó.

Irodalom

• Leonard Lewin, (Ed.): Structural Properties of Polylogarithms. (hely nélkül): American Mathematical Society, Providence, RI. 2009. ISBN 0-8218-4532-2  
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds: "Chapter 27.8", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1991. 109–113. o. ISBN 978-0486612720  
• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function". (hely nélkül): . Comp. App. Math. 121. 2000. 11. o.  
• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  

Kapcsolódó szócikkek

• http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_1005.htm
• http://mathworld.wolfram.com/ClausenFunction.html
• L-függvény
• Lobacsevszkij-függvény
• Kummer-függvény
• Riemann-féle zéta-függvény
• Spence-függvény
• Konvergencia
• Catalan-állandó