Brun-tétel

A Brun-konstans megközelítése.

Brun tétele, miszerint az ikerprímek (olyan prímpár, melyek különbsége 2) reciprokösszege egy Brun-konstans néven ismert (B₂-tal jelölt) véges értékhez konvergál. A tételt Viggo Brun bizonyította be 1919-ben, és jelentős fontossággal bír a szitaeljárások terén.

Aszimptotikus korlátok az ikerprímekre

Az ikerprímek reciprokösszegének konvergenciája az ikerprímek sorozatának sűrűségéből következik.

Jelölje $\pi _{2}(x)$ az olyan p ≤ x prímek számát, melyre p + 2 is prím (azaz $\pi _{2}(x)$ a legfeljebb x értékű ikerprímek száma). Ekkor x ≥ 3 esetén:

$\pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right).$

Így az ikerprímek a prímeknél kevésbé (majdnem egy logaritmikus taggal) sűrűek. Ebből a korlátból következik, miszerint az ikerprímek reciprokösszege konvergens. Magyarán a

$\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots$

összeg vagy véges sok tagot tartalmaz, vagy pedig ugyan végtelen, de konvergens, értéke pedig a Brun-konstans.

A tényből, hogy a prímek reciprokösszege divergens, következik, hogy a prímek száma végtelen. Viszont abból, hogy az ikerprímeké konvergens, nem vonható le következtetés az ikerprímek számának végességéről/végtelenségéről. A Brun-konstans akkor lehet irracionális, ha végtelen sok ikerprím van.

Becslések

Az ikerprímek 10¹⁴-ig történő kiszámolása alapján (és mindeközben a Pentium FDIV bug felfedezésével) Thomas R. Nicely a Brun-konstans értékét 1,902160578-re becsülte. Később, 2010 januárjára 1,6·10¹⁵-ig számolta ki az értékét, ám ez nem a legnagyobb, ugyanis 2002-ben Pascal Sebah és Partich Demiched 10¹⁶-ig történő számolással a B₂≈1,902160583104 értéket becsülte, a 10¹⁶-ig levő 1,830484424658 érték extrapolálásával. Dominic Klyve pedig bebizonyította, hogy ha a bővített Riemann-sejtés igaz, akkor B<2,1754.

A Brun-konstans jegyeit használták egy 1 902 160 540 dolláros ajánlatban a Nortel szabványainak aukcióján. Ezt a Google licitálta, és egyike volt a három, matematikai konstans alapú licitjének.

Létezik egy Brun-konstans prímnégyesekre is. A prímnégyes két ikerprím-párosból áll, amelyek között 4 (a lehető legkisebb) a különbség. Az első néhány prímnégyes: (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). A prímnégyeseken értett Brun-konstans, aminek jelölése B₄, az összes prímnégyes reciprokösszegével egyezik meg:

$B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots$

melynek értéke:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Ez a konstans nem összetévesztendő a prím unokatestvérekre számolt Brun-konstanssal, ami a (p, p + 4) alakban megadható prím-párosok reciprokösszege, és szintén B₄-nek jelölik.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Brun's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.