Bernoulli törvénye

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
HYDRODYNAMICA, Danielis Bernoulli.png

Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és ujjai közé fúj, a papírlap a tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás azt a tenyeréhez szorítja. A Bernoulli-törvény pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte a szintén bázeli Leonhard Euler és mások.

Bernoulli egyenletei[szerkesztés]

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, a másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

Összenyomhatatlan közeg[szerkesztés]

Állandó nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

v = közeg sebessége az áramvonal mentén
g = nehézségi gyorsulás
h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában
p = nyomás az áramvonal mentén
= a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

  • Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
  • Stacionárius, vagy időben állandósult áramlás
  • Összenyomhatatlan közeg; = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
  • Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

Összenyomható közeg[szerkesztés]

Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, amely esetben egy áramvonal mentén:

ahol

= az egységnyi tömegre eső helyzeti energia, állandó nehézségi gyorsulás esetén
= a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

ahol a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és -vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

Levezetése[szerkesztés]

Összenyomhatatlan közegre[szerkesztés]

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integrálásával vagy az energiamegmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb levezetésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

Állandósult áramlás esetén , így

Ha állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

vagy

ahol a állandó, ezt néha Bernoulli állandónak hívják. Látható, hogy ha a sebesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az energiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk, hogy az áramlás súrlódásmentes, nincsenek energiaveszteséget okozó erőhatások.

Egy folyadékrész balról jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét.

A munkatételt, avagy a kinetikai energia elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők eredőjének munkája = kinetikai energia megváltozása

A nyomáskülönbségből származó erők munkája:

A nehézségi erő munkája:

A kinetikai energia növekedése:

A fentieket összevetve:

vagy

Miután egyszerűsítünk -val, -val és -val (= térfogatáram = , mivel a közeg összenyomhatatlan):

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

Tovább egyszerűsítve g-vel:

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

vagy .

A kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikai nyomás vagy statikus magasság definíciója:

, vagy .

A kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

Összenyomható közegekre[szerkesztés]

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az és az keresztmetszeten a időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

.

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az és keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

ahol és az energia mennyisége, amely az keresztmetszeten beáramlik és a keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a mechanikai munka alakjában jelentkező energiájának az összege:

Hasonló összefüggést lehet felírni a -re is. Így behelyettesítve a ezt kapjuk:

amit így át lehet alakítani:

Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:

Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.

Irodalom[szerkesztés]

  • Budó Ágoston (1967): Kísérleti Fizika I. Tankönyvkiadó, Budapest