Bernoulli törvénye

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
HYDRODYNAMICA, Danielis Bernoulli.png

Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és ujjai közé fúj, a papírlap a tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás azt a tenyeréhez szorítja. A Bernoulli-törvény pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte a szintén bázeli Leonhard Euler és mások.

Bernoulli egyenletei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, a másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

Összenyomhatatlan közeg[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Állandó nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

 {v^2 \over 2}+gh+{p \over \rho}=\mathrm{konstans}
v = közeg sebessége az áramvonal mentén
g = nehézségi gyorsulás
h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában
p = nyomás az áramvonal mentén
\rho = a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

  • Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
  • Állandósult áramlás
  • Összenyomhatatlan közeg; \rho = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
  • Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

Összenyomható közeg[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, amely esetben egy áramvonal mentén:

 {v^2 \over 2}+ \phi + w =\mathrm{konstans}

ahol

\phi \, = az egységnyi tömegre eső helyzeti energia,  \phi = gh \, állandó nehézségi gyorsulás esetén
 w \, = a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

 w = \epsilon + \frac{p}{\rho} ahol  \epsilon \, a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és  b -vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő)  b állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

Levezetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összenyomhatatlan közegre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integrálásával vagy az energiamegmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb levezetésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

m \frac{\operatorname{d}v}{\operatorname{d}t}= F
\rho A \operatorname{d}x \frac{\operatorname{d}v}{\operatorname{d}t}= -A \operatorname{d}p
\rho \frac{dv}{dt}= -\frac{dp}{dx}

Állandósult áramlás esetén v=v(x), így

\frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx}v=\frac{d}{dx} \frac{v^2}{2}

Ha \rho állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

\frac{d}{dx} \left( \rho \frac{v^2}{2} + p \right) =0

vagy

 \frac{v^2}{2} + \frac{p}{\rho}= C

ahol a C állandó, ezt néha Bernoulli állandónak hívják. Látható, hogy ha a sebesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az energiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk az energia megmaradását.

Egy folyadékrész balról jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy \Delta t; idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét.

Az energiamegmaradás elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők munkája + a potenciális energia csökkenése = kinetikai energia növekedése

A külső erők munkája:

F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_
{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t. \;

A potenciális energia csökkenése:

m g h_{1}-m g h_{2}=\rho g A
_{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2} \Delta
t h_{2} \;

A kinetikai energia növekedése:

\frac{1}{2} m v_{2}^{2}-\frac{1}{2} m v_{1}^{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2}
^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}.

A fentieket összevetve:

p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}

vagy

\frac{\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{
2}}{2}+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}+p_{1} A_{1
} v_{1}\Delta t=\frac{\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{
2}^{2}}{2}+\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}+p_{2}
A_{2} v_{2}\Delta t.

Miután egyszerűsítünk \Delta t-val, \rho-val és A_{1} v_{1}-val (= térfogatáram = A_{2} v_{2}, mivel a közeg összenyomhatatlan):

\frac{v_{1}^{2}}{2}+g h_{1}+\frac{p_{1}}{\rho}=\frac{v_{2}^{2}}{2}+g h_{2}+\frac{p_{2}}{\rho}

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

\frac{v^{2}}{2}+g h+\frac{p}{\rho}=C

Tovább egyszerűsítve g-vel:

\frac{v^{2}}{2 g}+h+\frac{p}{\rho g}=C

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

v=\sqrt{{2 g}{h}} vagy h=\frac{v^{2}}{2 g}.

A \frac{v^2}{2 g} kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikus nyomás vagy statikus magasság definíciója:

p=\rho g h \,, vagy h=\frac{p}{\rho g}.

A \frac{p}{\rho g} kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

Összenyomható közegekre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az  A_1 és az  A_2 keresztmetszeten a  \Delta t időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

 0 = \Delta M_1 - \Delta M_2 = \rho_1 A_1 v_1 \, \Delta t - \rho_2 A_2 v_2 \, \Delta t .

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az  A_1 és  A_2 keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

 0 = \Delta E_1 - \Delta E_2 \,

ahol  \Delta E_1 és  \Delta E_2 az energia mennyisége, amely az  A_1 keresztmetszeten beáramlik és a  A_2 keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a  p\,dV mechanikai munka alakjában jelentkező energiájának az összege:

 \Delta E_1 = \left[ \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2 + \phi_1 \rho_1 + \epsilon_1 \rho_1 + p_1 \right] A_1 v_1 \, \Delta t

Hasonló összefüggést lehet felírni a  \Delta E_2 -re is. Így behelyettesítve a  0 = \Delta E_1 - \Delta E_2 ezt kapjuk:

 0 = \left[ \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2+ \phi_1 \rho_1 + \epsilon_1 \rho_1 + p_1 \right] A_1 v_1 \, \Delta t - \left[ \frac{1}{2} \rho_2 v_2^2 + \phi_2\rho_2 + \epsilon_2 \rho_2 + p_2 \right] A_2 v_2 \, \Delta t

amit így át lehet alakítani:

 0 = \left[ \frac{1}{2} v_1^2 + \phi_1 + \epsilon_1 + \frac{p_1}{\rho_1} \right] \rho_1 A_1 v_1 \, \Delta t - \left[ \frac{1}{2} v_2^2 + \phi_2 + \epsilon_2 + \frac{p_2}{\rho_2} \right] \rho_2 A_2 v_2 \, \Delta t

Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:

 \frac{1}{2}v^2 + \phi + \epsilon + \frac{p}{\rho} = {\rm konstans} \equiv b

Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Budó Ágoston (1967): Kísérleti Fizika I. Tankönyvkiadó, Budapest