Euler-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Euler-egyenletek a belső súrlódás (viszkozitás) nélküli ideális közeg mozgását leíró differenciálegyenlet rendszer. Nevét Leonhard Euler után kapta. Az egyenletek a tömeg (folytonosság), mozgásmennyiség és energia megmaradását fejezik ki és a Navier-Stokes egyenletek viszkozitás és hővezetés nélküli alakjának felelnek meg. Euler csak a folytonosságot és az impulzus megmaradását vezette le, de a folyadékok mechanikája irodalma általában az energia megmaradással bővített egyenletrendszert is Euler-egyenleteknek hívja.[1]

A Navier-Stokes egyenletekhez hasonlóan az Euler-egyenleteket is kétféle alakban szokás megadni: az egyik esetben az egyenleteket az álló koordináta-rendszerhez képest rögzített közegtérfogatra írják fel, a másik esetben pedig egy közegtérfogat változásait írják le, amint az áramlással együtt továbbhalad. Az Euler-egyenletek mind összenyomható (gáz), mind összenyomhatatlan (folyadék) közegre érvényesek, ez utóbbi esetben a sebességek vektorterének divergenciája zéró értéket vesz fel.

Az eredeti Euler-egyenlet álló koordináta-rendszerben[szerkesztés]

Szárny körül áramló ideális folyadék áramvonalai

Az Euler egyenlet a folyadékrészre ható erők és a gyorsulása között teremt összefüggést:

,

ahol

a folyadékrész gyorsulásvektora,
a nehézségi gyorsulás vektora,
a folyadék sűrűsége,
pedig a nyomás skalár mezője.

A folyadék rész gyorsulására a következő összefüggés írható:

Ezzel az Euler-egyenlet így is írható:

Végül, ha a sűrűség a nyomásnak függvénye (összenyomható közeg esetén), a jobb oldal így is írható:

Az egyenlet "természetes" koordináta-rendszerben[szerkesztés]

Ha az áramlás stacionárius (időben nem változó), és a koordináta-rendszert úgy vesszük fel, hogy az 'e'-tengely az áramvonal érintője legyen, az 'n' koordináta az áramvonalat az érintési pontban a görbületi középponttal összekötő normálisa, a harmadik, 'b' koordináta pedig az első kettő síkjára merőleges binormális, akkor az Euler-egyenlet érintő irányú komponense:

Az egyenlet normális irányú komponense pedig:

,

A binormális irányú komponens pedig, mivel ebben az irányban nincs gyorsulás:

ahol

az áramvonal görbületi sugara,
a nehézségi gyorsulás érintő irányú,
a normális irányú,
pedig a binormális irányú komponense.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Anderson, John D. (1995), Computational Fluid Dynamics, The Basics With Applications. ISBN 0-07-113210-4

Irodalom[szerkesztés]

  • Dr. Gruber József-Blahó Miklós: Folyadékok mechanikája. Hatodik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
  • Lajos Tamás: Az áramlástan alapjai. Előadási jegyzet. Budapesti Műszaki Egyetem Áramlástan Tanszék. Budapest, 1992. Kézirat. Magyar Elektronikus Könyvtár