A Schwarzschild-megoldás levezetése

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az általános relativitáselméletnek a gömbszimmetrikus vákuum megoldását Schwarzschild-megoldásnak nevezzük, amely egy pontforrás gravitációs terét írja le.

Jelölések[szerkesztés]

A következő koordináta négyest használjuk .

Feltételezéseink

(1) Gömbszimmetrikus téridőben a metrika nem változik a vagy tükrözések esetén, valamint a két változóban történő forgatások elvégzése esetén.

(2) A statikus téridőben az összes metrikus komponens (idő) független (azaz ) és nem változik időtükrözés esetén sem.

(3) Vákuum megoldás esetén az Einstein egyenletek jobb oldala eltűnik, tehát . Így az egyenletekből következik. Továbbá az egyenletből kapunk.

A metrika diagonalizálása[szerkesztés]

A , transzformációra a metrika nem változik. A () komponensek a következő képen transzformálódnak:

()

Mivel a metrikus komponensek nem változnak:

()

A és a koordináta transzformációkból:

()
()

Összegezve:

()

Tehát a metrika a következő alakú

A komponensek kiszámítása[szerkesztés]

Azon a hiperfelületen ahol , és konstans, a komponens csak -től függ. Tehát

hasonlóan

vagy hagyományos jelölésmóddal

és


Konstans és estén

továbbá

amiből:

és

Valamint

és

Tehát a metrika alakja a következő lesz:

Vagy hagyományos jelölésmóddal

A Christoffel-szimbólumok kiszámítása[szerkesztés]

Hosszas számolás után a metrikus tenzorból kiszámíthatók a Christoffel-szimbólumok.

Ahol a vessző az r szerinti deriválást jelöli.



és kiszámítása[szerkesztés]

Használjuk a vákuum esetén érvényes

egyenletet. A 10 független egyenletből 6 triviálisan teljesül. A maradék négy a következő

(A 4. egyenlet -szorosa a 2. egyenletnek.)

Itt a pont az r szerinti deriválást jelöli. Kivonva az első egyenletet a harmadikból

Továbbá

aminek az általános megoldása:

Itt egy nem nulla valós szám (hasonlóan -hoz). Tehát a statikus gömbszimmetrikus általános megoldás a metrikára:

Gyenge tér közelítés és meghatározására[szerkesztés]

A metrikának gyenge tér közelítésben vissza kell adnia a newtoni tömegvonzást. Továbbá, ha a tömeggel nullához közelítünk a Minkowski-téridőt kell megkapnunk.

egyenletet. Gyenge tér közelítésben:

ahol a gravitációs állandó, a tömeg és a fénysebesség

és

Így:

és

Tehát a Schwarzschild metrika a következő alakú lesz:

Irodalom[szerkesztés]

  • Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
  • Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
  • Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

Hivatkozások[szerkesztés]


Lásd még[szerkesztés]