Wedderburn–Artin-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Wedderburn–Artin-tétel vagy Wedderburn–Artin-struktúratétel az Artin-gyűrűk struktúrájáról szól. Ha R Artin, és radikálja \mathcal J(R), akkor az R/ \mathcal J(R) faktorgyűrű véges sok, ferdetest feletti mátrixgyűrű szorzata.

Speciálisan, ha R féligegyszerű, akkor R ferdetest feletti mátrixgyűrűk szorzata, és ez a felbontás lényegében egyértelmű. Ezt is szokták Wedderburn-Artin struktúratételnek nevezni.

Definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az R gyűrű Artin-gyűrű, ha ideáljainak minden végtelen hosszú csökkenő lánca stabilizálódik. Másként: nincs ideáloknak végtelen hosszú szigorúan csökkenő lánca.

Az R gyűrű Jacobson-radikálja az R-beli maximális balideálok metszete. Röviden szokták radikálnak is nevezni. Ebben éppen azok az x elemek vannak, amikre 1-rx balinvertálható minden r gyűrűelemre. Ez valójában szimmetrikus: jobbról definiálva is ugyanahhoz a radikálhoz jutunk. Az 1-xr jobbinvertálhatósága is teljesül minden r gyűrűelemre.

Egy algebra vagy gyűrű féligegyszerű, ha Jacobson-radikálja triviális, vagyis csak a nullelemből áll.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Minden \mathbb R fölötti véges dimenziós algebra mátrixgyűrű \mathbb R, \mathbb C vagy \mathbb H fölött.
  • Minden véges dimenziós \mathbb C fölötti egyszerű algebra mátrixgyűrű \mathbb C fölött.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]