Wedderburn–Artin-struktúratétel

A Wedderburn-Artin struktúratétel az Artin-gyűrűk struktúrájáról szól. Ha R Artin, és radikálja $\mathcal J(R)$ , akkor az $R/ \mathcal J(R)$ faktorgyűrű véges sok, ferdetest feletti mátrixgyűrű szorzata.

Speciálisan, ha R féligegyszerű, akkor R ferdetest feletti mátrixgyűrűk szorzata, és ez a felbontás lényegében egyértelmű. Ezt is szokták Wedderburn-Artin struktúratételnek nevezni.

Definíciók[szerkesztés]

Az R gyűrű Artin-gyűrű, ha ideáljainak minden végtelen hosszú csökkenő lánca stabilizálódik. Másként: nincs ideáloknak végtelen hosszú szigorúan csökkenő lánca.

Az R gyűrű Jacobson-radikálja az R-beli maximális balideálok metszete. Röviden szokták radikálnak is nevezni. Ebben éppen azok az x elemek vannak, amikre 1-rx balinvertálható minden r gyűrűelemre. Ez valójában szimmetrikus: jobbról definiálva is ugyanahhoz a radikálhoz jutunk. Az 1-xr jobbinvertálhatósága is teljesül minden r gyűrűelemre.

Egy algebra vagy gyűrű féligegyszerű, ha Jacobson-radikálja triviális, vagyis csak a nullelemből áll.

Példák[szerkesztés]

Minden $\mathbb R$ fölötti véges dimenziós algbra mátrixgyűrű $\mathbb R, \mathbb C$ vagy $\mathbb H$ fölött.
Minden véges dimenziós $\mathbb C$ fölötti egyszerű algebra mátrixgyűrű $\mathbb C$ fölött.