Vita:A hazug paradoxona

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

Szerintem teljesen fölösleges azon vitatkozni, hogy Epimenidész vagy Eubulidész. Ha jól emlékszem, Benson Mates ír róla valahol (sajnos nem emlékszem már a részletekre), hogy e hazug paradoxont körülbelül 4-5 különböző szerzőhöz lehet kötni. Telitalálat Felügyelő 2005. július 11., 09:25 (CEST)

Szerintem is fölösleges vitatkozni ilyesmin. De muszáj volt az Epimenidész-paradoxonról szóló részt beletenni, hogy legalább egy belső link legyen benne, és a WikiStat is szócikknek számítsa. :))

Amúgy nyugodtan írd át az egészet, ha akarod, engem annyira nem izgat a téma, csak azért írtam pár sort az angol cikk alapján, hogy ne kelljen feltétlenül törölni.

Már nincsenek nálam a forrásaim (könyvtárba majd valamikor eljutok, e héten nem), sajnos nem tudom tovább írni. Azért köszi a bővítést. Telitalálat Felügyelő 2005. július 11., 11:31 (CEST)

Szerintem át kellene nevezni hazudós paradoxonra, az összes többi paradoxonlap így hivatkozik rá. Más: talán az Epimenidész részt nem kell ennyire részletesen, hiszen mindez le van írva annak a szócikkében is, de akár maradhat is. --DHanak :-V 2005. július 11., 17:38 (CEST)

Neked is csak azt tudom mondani, hogy eme szócikk-csonk a két mondatos szubcsonkból úgy keletkezett, hogy (az eredeti szöveghez cseppet sem ragaszkodva) leferdítettem az angol cikk bevezetőjét, és első két al-szekcióját (abban egyébként az Epimenidész-rész ennél még részletesebb). A többit viszont hagytam, mert sem a filozófiához, sem a matematikához nem konyítok kicsit sem. Így ez a szócikk persze eléggé aránytalan, és féloldalas, de ha valakit érdekel a téma, majd ír ehelyett egy rendes cikket. :) --194.152.154.10 2005. július 11., 18:13 (CEST)

Nos, tegnap este én követtem el a naív halmazelmélet szócikket. Elnézést kell kérnem azért, hogy formáját és talán tartalmát tekintve is kívánni valót hagy maga után, de most járok itt először és csak most tanulgatom a dolgot. Mindazonáltal fontosnak tartottam megosztani az apránként összegyűjtött tudásomat a nagyközönséggel.

A hazug paradoxona pedig ennek egy mellékterméke volt, amit csak említés szintjén gondoltam beiktatni. Azt, hogy nem a hazudós paradoxona kifejezést használtam, az azért van, mert a magyarországi logika atyjai Ruzsa I., Máté A., Pólos L. mind a hazug paradoxona, vagy a hazug antinómiája kifejezést használják.

Ha a magyar szakirodalom használja ezt, akkor visszakozom, maradjon. A többi meg lehet redirekt rá. Meg is csinálom. --DHanak :-V 2005. július 11., 21:06 (CEST)

De mi a véleményetek a naiv halmazelmélet szócikkről? Mozo

Tegnap átfutottam, és (bizonyos, még átnézendő történeti, Fregével kapcsolatos megjegyzéseket kivéve ) olyan színvonalasnak tartottam, hogy elkezdtem gondolkodni azon, nem e khmmm... hogy is mondjam ... copypaste. Kezdetnek biztos hogy nem rossz, szerintem nagyon köszönjük! :-)) Telitalálat Felügyelő 2005. július 11., 20:43 (CEST)

Hogy kell a hivatkozásokat feltüntetni? (Na mindegy, majd megnézem egy másik cikknél) Lenne 3-4 könyv, amire tudnék utalni. Egyébként megnéztem a Frege oldalt. Nagy arc lehet aki írta! Tök jó és hasznos. (Bár egy external linket betett, ami kicsit gáz.) Mozo 2005. július 11., 23:03 (CEST)

Nagyon köszöni a dícséretet az író, át fogom neki adni. Melyik link gáz? Bírom a szerkesztő engedélyét a kivételére. De azért szeretném tudni. Mellesleg, amikor a cikk íródott, a szerkesztője (amint tájékoztatott) azon az állásponton volt, hogy minden ami Fregéhez kapcsolódik, azaz az Istennek az egyik attribútuma, az maga is isteni, még ha emberi szemeink gázosnak, csekélységnek látják is azt. A Fogalomírás Főpapjának Helyettese.

A jelenlegi név szvsz végképp nem jó: egy paradoxont, ami rendszeresen nem mond igazat, lehetne hazug paradoxonnak hívni, de egy hazugról szólót nem. Vagy hazug-paradoxon, vagy a hazug paradoxona (ilyenkor a névelőt is be kell venni a címbe) kéne hogy legyen. Ha a szakirodalomban az utóbbi szerepel, akkor inkább az. --TG® 2005. július 13., 01:41 (CEST)

Ne sarkítsunk! Ha csak egy névelő hiányzik, akkor azt nem nevezném "végképp nem jó"-nak. Akkor nevezném "végképp nem jó"-nak, ha ennek a szócikknak a neve "Pincérfrakk utcai cicák" lenne. Egyébként igazad van és nekem is eszembe jutott, hogy kitegyem az "a"-t.Mozo 2005. július 13., 07:04 (CEST)

(A "jelenlegi" a hazug paradoxon-ra vonatkozott. TG® 2005. július 14., 23:12 (CEST))

Math nevezte át a mostanira, merthogy nem volt elég magyaros neki a régi. Nekem is eszembe jutott a névelős megoldás, de az olyan furcsán néz ki, még akkor is, ha úgy helyes. (Mindenesetre az igazán ideális lenne, ha maga a szócikk se lenne ennyire tré (és akkor majdnem mind1 mi a címe:)).

--Csobankai Aladar 2005. július 13., 09:11 (CEST)

Én így nevezném: Hazugság-paradoxon. OsvátA. 2005. július 13., 09:35 (CEST)

Én azért nem, mert ebben a formában sosem hallottam, és nem valószínű, hogy ebben a formában keresni fogják. Maradnék "A hazug paradoxona" vagy "Hazudó-paradoxon" mellett. Bár nekem Dhanak verziója is megfelelt. Telitalálat Felügyelő 2005. július 13., 09:43 (CEST)

Azért ez a név-dolog talán mégse ennyire fontos... :-D De ha nektek igen, akkor lehetne csinálni egy jópofi közvéleménykutatást, és ami a legtöbb szavazónak tetszik, lehet a default név, a többiről meg mehet egy átirányítás. Éljen a dilettantokrácia. :) --Csobankai Aladar 2005. július 13., 10:11 (CEST)

Hiszen ezt csináltuk. Az angolon is van dilettantokrácia (ld. matematika = nem tudomány) :-)) Telitalálat Felügyelő 2005. július 13., 10:26 (CEST)

Már megbocsásson mindenki, nem az zavar, hogy nem hisztek nekem, amikor azt mondom, hogy a szakirodalomban a magyar elnevezés az amit említettem, hanem, hogy ha létezik a magyar nyelvű tudományfilozófiai terminológiában egy bevett elnevezés, akkor mért gondoljátok, hogy nektek kell elnevezni a szóban forgó fogalmat újra? Tessék bemenni a Fővárosi Szabó Ervin Könyvtárba és kikeresni a logikatörténeti könyveket. Amelyik elnevezést a legtöbb nagy nevű logikus használja, azt illik egy tudományos szócikkben is használni. Ha mégsem, akkor indokolni kell, hogy ezen és ezen nyomós okokból nem nevezzük így és így, habár tudjuk erről, mások úgy és úgy vélekednek stb. Mozo 2005. július 13., 22:20 (CEST)

Szerintem kicsit félreérted a helyzetet. Itt nem arról van szó, hogy ismerték a bevett kifejezést, és simán szembe akartak menni vele, hanem valszeg éppen arról, hogy a megfelelő szakirodalom ismerete nélkül pusztán nyelvhelyességi alapon akartak címet változtatni. Ami annyiból jogos, hogy a címből hiányzott a névelő... De szerintem így már mindenkinek megfelel (remélem). --194.152.154.10 2005. július 13., 22:54 (CEST)

OK! Mindenesetre egy kicsit kibővítettem a szócikket. Mozo 2005. július 14., 06:55 (CEST)

Hálás köszönetem KovacsUr-nak! Igazán szégyenlem, hogy a helyesírásom ennyire csapnivaló. Próbálom azzal ellensúlyozni, hogy talán a tartalom nem teljesen triviális. (Egyszer egy ismerősömnek megígértem, hogy - mint tanár - sohasem fogok írni a táblára, nehogy leégessem a pedagógustársadalmat a rossz helyesírásom miatt. Persze azért szoktam írni, de csak matematikai szimbólumokat :) Mozo 2005. július 16., 09:05 (CEST)

Math írta: "feneket elsonek. russel, zermelo kell meg ide" Nos, ha ezek szerint rajtam kívül mindenki tudja, hogy az említett módon ki oldotta meg elsőként a problémát, akkor nem kérlek, hogy írd le, ellenkező esetben viszont légy oly jó és tájékoztass minket ismereteidről. Kérlek azt is modd el, milyen tekintetben kell ide Russell és Zermelo! "Hálás köszönettel: Mozo 2005. július 21., 07:51 (CEST)

Egyetértek. Telitalálat Felügyelő 2005. július 21., 09:03 (CEST)

Az értékréses logika nem oldja fel igazán a paradoxont. (Igaz-e az "ez a mondat hamis, vagy nincs igazságértéke" mondat?) --TG® 2005. július 21., 10:02 (CEST)

Tgr: Feloldja. Nincs igazsagerteke. Praktikusan az 1 es 2 egyebkent ugyanaz a megoldas. Hogy most azt mondjuk, hogy egy mondat nem megengedett, vagy azt, hogy nincs igazsagerteke, az praktikusan ugyanaz. --Math 2005. július 21., 10:27 (CEST)

Most sajnos nem értek egyet Math-tal a két újabb rész betoldása tekintetében. Tarski cikke jóval Russell típuselmélete után keletkezett. Sajnos azt kell mondanom, hogy a típuselméletben is rekonstruálható a hazug paradoxona abban az értelemben, ahogy a természetes nyelvben, sőt a halmazelméletben is. A hazug paradoxona ugyanis nem a Russell-paradoxon és nem is a levezethetőséggel kapcsolatos gödeli szituáció. Mint az írtam ugyanaz a jelentésbeli háttere, de másra vonatkozik. A hazug paradoxona az igazságról szól, amit a formalizált elméletekben Tarski definiált 1933-ban. Az önreferenciális rendszerek pedig a levezethetőség fogalmát vezetik vissza a tárgynyelvbe, nem az igazságot. Tény viszont, hogy ami összeköti azokat, az a Cantor-féle átlós eljárás. Ez ami közös bennük. Persze mondhatjuk, hogy lényegében ugyanarról van szó, de akkor az epimenidészi paradoxon is lényegében ugyanaz mint a hazug paradoxona.

A két betoldott rész nem logikai, hanem matematikai tárgyú és szerintem nem való arra a helye. Mozo 2005. július 21., 11:21 (CEST)

Mozo: az igaz, hogy a russel paradoxon es a hazug paradoxon nem ugyanaz. Az is igaz, hogy mindkettoben van onreferencia, de a hazug paradoxonaban egy maisk fajta van, mint a russel paradoxonban. Az is igaz, hogy a hazug paradoxonaban ez az onreferencia az igazsag fogalman keresztul van. Namost en persze nagyon reszletesen nem ismerem a tipuselmeletet, de mivel ugy tudom, eleg szigoru, bioznyara nem enged meg olyanokat, hogy:

A="igaz(A)", ahol az "igaz" egy peredikatum. Gondolom, a predikatumok egy bizonyos tipusba tartoznak, es a topiselmelet szerint az igaz predikatumnak csak alacsonyabb tipusu valtozoja lehet, e szerint akkor A tipusa alacsonyabb, mint az "igaz" tipusa. Az A definicioja szeritn viszont ugyanaz a tipusa. Tehat ugy velem, hogy a Russel fele tipuselmeletben nem lehet rekonstrualni ezt aparadoxont. persze konnyen elkepzelheto, hogya tipuiselmeletrol feluletesek az ismereteim.

most megprobalom ezt atbongeszni, hogy igazol-e engem: [[1]]

UGy latom, igen:

"Russell went on to enumerate seven paradoxes, starting with that of Epimenides: then the one he discovered (in two forms); then Berry's paradox about the least number not nameable; another about the least indefinable ordinal; then the Richard paradox; and finally the Burali-Forti one. Kleene's famous book Introduction to Metamathematics also begins with an extensive discussion of these paradoxes.

Russell's solution is to invoke a new basic principle of logic and apply it to designing a type theory that enforces the principle. "

Az Epimenides paradoxon pedig a szocikkunk szerint is a Liar's paradoxon egyik verzioja.

--Math 2005. július 21., 11:36 (CEST)

Azt mondtam, abban az értelemben, ahogy Tarski az igazságot definiája. Az "igaz" pregikátuma a típuselmélet metaelméletében van definiálva. Mivel a típuselmélet nagyon erős elmélet (definiálhatók benne a számok - ún. végtelen rendű nyelv) ezért formalizálható benne a "igaz" predikátum metanyelvi definíciója (ahogy a halmazelméletben is). Így jön létre az önreferencia - feltéve, hogy a típuselmélet ellentmondásmentes, még a levezethetőség fogalma is definiálható benne. Nézd meg még a T schema-nál. Mozo 2005. július 21., 12:37 (CEST)

Igen, de a kerdes, hogy legalis-e benne az A="Igaz(A)" mondat? Szerintem nem legalis benne, mivel ervenytelen tipusu valtozot ad a predikatumnak. Tehat a tipuselmeletben szerintem a hazug paradoxonanak formalizalt valtozata nem egy megengedett mondat. --Math 2005. július 21., 12:42 (CEST)

Gyanús nekem ez a vita. Azt gondolom, nem ugyanarról beszélünk. Például mit értesz "igaz" alatt? Azonos-e a levezethetőség fogalma az igazsággal?

De inkább had utaljak Gödel tételére. Ez azt mondja ki, hogy az a mondat, melynek jelentése ez: "Ez a mondat levezethető" sem nem cáfolható, sem nem levezethető - feltéve, hogy az elmélet ellentmondásmentes. Ha ellentmondásos, akkor persze teljesül, hogy minden londat vagy levezethető, vagy sem (azaz a kizárt harmadik elve), csak ekkor mindkettő érvényes lesz. Vajon a "levezethető" kifejezés szerepel-e a halmazelméletben, vagy a típuselméletben. Természetesen nem. Mégis, senki sem tagadhatja, hogy egy negációteljes elméletben (ha elég erős) a levezethetőségre vonatkozóan fellép a hazug antinómiája az előbbi módon (levezethető <=> ha nem levezethető). Ugyanezt Tarski is kimutatta az igazságra vonatkozóan (mutatis mutandis). Ha elég erős a tárgyelmélet, akkor létrejön benne az "Ez a mondat igaz" jelentésű mondat még akkor is, ha az "igaz" kifejezés nem szerepel explicite, vagy szándékoltan az elmélet nyelvében (illetve szemantikájában). Szóval, ha az "axiomatikus igazságfogalomhoz" fordulunk a hazug paradoxona elkerülése érdekében, akkor ugyanahhoz a válaszúthoz érünk el, mint a köznyelviben: vagy ellentmondás, vagy a harmadik igazságérték (pontosabban annak hiánya) megendése. Kikerülni a szavak diszkvalifikációjával nem lehet. Ha megengedjük, hogy legyen 3. érték, akkor nevezhetjük-e igazságnak a levezethetőséget? És vajon hogy tud elszámolni az arisztotelészi valóságmegfelelési elvvel az axiomatikus elmélet? Tarski megmutatta, hogy (1) a tertium non datur is fennáll és (2) a megfelelési elv (T-séma) is érvényesül olyan esetekben, amikor a metanyelv erősebb mint a tárgynyelv.

A típuselméletről: Ha S a típuselélet mondata, akkor az S-ben sok típusú objektum szerepelhet, de ettől még az "S igaz" mondat metanyelvi, azaz nem formális, azaz nem egyel feljebb lévő szinten van, mint az S, hanem teljesen rendszeren kívül. És Tarski és Gödel szerint "S igaz" lefordítható a tárgynyelvbe egyetlen jólformált(!) mondatként.

Visszatérve. Javaslok egy kompromisszumos megoldást. Térjünk ki a cikkben az "igaz" és "levezethető" predikátumok különbségére (pláne, hogy egy tényleg két teljesen más dolog: szemantikai vs szintaktikai) és jegyezzük meg, hogy az axiomatikus igazságelmélet szinte soha nem képes az (1) és (2) feltételt teljesíteni a Tarski-féle pedig néhány egyszerű esetben. Mozo 2005. július 21., 17:39 (CEST)

Mozo: "Például mit értesz "igaz" alatt?" Nos, errol talan Epimenides-t kellett volna megkerdezni.:) Nyilvanvalo, hogy a paradoxon vizsgalata fugg attol, hogy mit is ertunk igaz alatt. Altalaban nem szoktak igaz alatt (veges) levezethetoseget erteni, pont Godel miatt. Egyebkent ugy tudom, hogy a godel tetel metanyelvi tetel.

"nem egyel feljebb lévő szinten van, mint az S"

en nem mondtam, hogy egyel fentebb siznten van. en azt mondtam, hogy AMENNYIBEN LEGALIS TARGYNYELVI MONDAT, akkor eggyel fentebbi siznten kellene, hogy legyen. ugyanakkor pedig ugyanazon a szinten is kell lennie, igy jutunk a reductio ad absurdum ellentmondashoz. egy reduktio ad absurdum bionyitast talan csak felismersz, nem? annak a bizonyitasnak egy felteveset ne ertelmezd ugy, hogy en valoban igaznak gondolom!

"az "S igaz" mondat metanyelvi, azaz nem formális, azaz nem egyel feljebb lévő szinten van, mint az S, hanem teljesen rendszeren kívül"

nyilvan ma igy fogalmaznank. de Russell es a tipuselmelet idejeben meg csak annyit mondhatott, hogy nem legalis mondata a nyelvnek. a nyelvnek, amit mi utolag targynyelvnek mondunk. akarhogy is, de a tipuselmelet kizarja az S="S igaz" konstrukciot. ez pedig mar feloldja a paradoxont. az egy mas kerdes, es a paradoxon feloldasahoz mar nem szukseges, hogy Tarski konstrukciojaban az S'="S igaz" metanyelvi mondatot definialni lehet.

--Math 2005. július 21., 17:55 (CEST)

Jó, a típuselmélet kizárja az "S<=>nem igaz(S)" mondat tárgynyelvi szereplését, de ez nem a típuselmélet sajátossága. A formális-axiomatikus-geomertiában szintén nem szerepel az "igaz" kifejezés. Bármelyik formális-axiomatikus rendszer megteszi hazug antinómia kizáró rendszernek. Így a cikkben indokolatlan akár a ZF, akár a típuselmélet külön megemlítése. Lehetne a formális gráfelméletet is említeni...

De mi van akkor, ha a mondat magától létrejön? A Peano-aritmetika formális elmélete is szintatikailag kizárja a "S<=>nem igaz(S)" mondatot, de ettől még Gödel kihozta, hogy létezik benne egy olyan formális G mondat, aminek a jelentése az, hogy G nem levezethető. Sőt az a T mondat is létezik benne, ami azt mondja: T nem igaz. Mozo 2005. július 21., 18:16 (CEST)

Mozo:

1) Hmmm. A helyzet ugye bonyolult, mert hat ugyanez az a kor, amikor az elmeletek formalizalasa is szuletik. Russell elmelete egyben a matematika teljes formalis logikai redukciojanak is az elso kiserlete. Tehat tulajdonkeppen nincs olyan rendszer korabbrol, ami Russell elmeletehez foghato. En azt nem tudom, hogy mit kezdett Russel az "igaz" predikatummal, az igazsag, mint olyan hogy van az elmeleteben. Nem ugy van, hogy tulajdonkeppen megiscsak van egy metanyelv, amiben leirja a tarynyelvet, csak ezt a konstrukciot mar nem formalizalja, hanema metanyelv az a termeszetes nyelv? Masreszt pedig a tipuselmelet vegulis egy olyan nyilt elmelet, amiben predikatumok bevezethetoek, tehat bevezetheto az "igaz(S)" jellegu prodikatumok, csak ezt nem tehetjuk az S definiciojava, nem? Igy vegulis mondhatjuk, hogy a hazug paradoxonabol az igaz(S) resz meg megalkothato benne, csak az S=igaz(S) definiciot tiltja. Tehat feloldasa a paradoxonnak szerintem.

2) A Godel tetel metanyelven van.

3) Hoztam azt a bizonyos idezetet:

"Russell went on to enumerate seven paradoxes, starting with that of Epimenides: then the one he discovered (in two forms); then Berry's paradox about the least number not nameable; another about the least indefinable ordinal; then the Richard paradox; and finally the Burali-Forti one. Kleene's famous book Introduction to Metamathematics also begins with an extensive discussion of these paradoxes.

Russell's solution is to invoke a new basic principle of logic and apply it to designing a type theory that enforces the principle. "

(Otthon van egy Principiam, de jol jonne most.:)

--Math 2005. július 21., 18:29 (CEST)

1) Nem Russellé az első, hanem Fregeé, de hát az a matematikára nézve nem nagyon sikerült. Russell utána próbálta megjavítgatni, de csak azon az áron, hogy bevezetett súlyos axiómákat, mint például a végtelenségi axióma. Így keletkezett a típuselmélet. Russell nem használta az "igaz" terminust. Frege igen, de őt bántották is emiatt :) Az "igaz" fogalmát csak akkor formalizálhatjuk, ha tudjuk mi az. Pont ezért tartják Tarski eredményét a szemantika megalapozásának, mert visszanyúlt Arisztotelész eredeti elveihez: - negációteljesség, - a valóságmegfelelés elve, és nem talált ki újat. Ennek alapján alkotta meg az "igaz" predikátum definícióját a formális nyelvek (formálizálható) metanyelvében.

Az "S <=> nem igaz S" mondatok nincsenek tiltva a típuselméletben (jelentsen "igaz" bármit is). A "H eleme K" mondatok vannak diszkvalifikálva, ha H egysziten van K-val. Direkt azért csinálták így, hogy a Russell-paradoxon ne jöhessen létre. De még csak erről sincs szó! A T mondat a metanyelvben okozna problémát, azaz lehetetlenné tenné az igazság definícióját, vagy nem, de akkor ellentmondásossá tenné a metanyelvet.

2) Gödel tétele a metanyelv egy levezethető állítása, mely azt mondja, hogy létezik a tárgynyelvben egy G mondat, mely se nem levezethető, se nem cáfolható mondata a tárgynyelvnek, feltéve, hogy a tárgynyelv ellentmondásmentes. (Ha ellentmondásos a tárgynyelv, akkor persze G le is vezethető és cáfolható is.) Maga a G mondat olyannyira létezik, hogy - egy konkrét elmélet esetén - egy számítógép percek alatt ki tudná lökni a szimbólumainak egymásután sorakozó sorozatát. (Egészen pontosan lehetnek olyan elméletek, ahol a számítás kissé elhúzódna, de G hossza persze akkor is véges lenne.)

"Russell's solution is to invoke a new basic principle of logic and apply it to designing a type theory that enforces the principle. " - ezek nagy szavak, de valójában Russell típuselméletét a korban senki sem használta matematikai célokra. Logikaira is csak egy meglehetősen átalakított formában (többszortú logika, típuselméleti extenzionális logika) de ott sem megalapozási, hanem modellelméleti célzattal. Manapság a matematikának nincsek olyan értelemben alapja, mint ahogy az Russell és Hilbert álmában szerepelt. A kategóriaelmélet még esélyes, de a Gödel-tétel azt is kikezdi. És ami a legfontosabb: Sem a típuselmélet, sem a ZF halmazelmélet ellentmondásmentességét eddig még senkinek nem sikerült bebizonyítania. És ha hihetünk a jóslatoknak nem is fogja tudni. Mozo 2005. július 21., 23:44 (CEST)

Figyelj Math, teljesen összekuszáltad a gondolatmenetemet. Ha gondolod, írd meg te, de szerintem így teljesen értelmetlen. Mozo 2005. július 22., 00:05 (CEST)

Mozo: Russel, Frege, OK, igy potnosabb. De mellekes. Azt en is megjegyzem, hOgy Russelt tul korulmenyesnek talaltak a matematikusok.

"Az "S <=> nem igaz S" mondatok nincsenek tiltva a típuselméletben (jelentsen "igaz" bármit is). "

A hazug paradoxonanak formalizalt valtozata szerintem az S="nem igaz(S)". Ez tiltva van a tipuselmeletben, jelentsen az "igaz" barmit is. Tipushibat eredmenyez. Azt nem tudom, hogy a "<=>" jel egyaltalan hasznalhato-e a tipuselmelet "targynyelvi" mondataiban.

Godel: Igy van, en is igy tudom.

"valójában Russell típuselméletét a korban senki sem használta matematikai célokra" hmmm. mi is Godel eredeti publikaciojanak cime?

K. Godel. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatsh. Math. Phys., 38:173--98, 1931.

khmmm.:)

de mellekes, hogy ki mire hasznalta. a szocikkben en utalok ra, hogy Russel tipuselmeletet nem szerettek. a kerdes nem az, hogy a tipuselmeletet, vagy a ZF-et hasznaljak-e, nem az, hogy ellentmondasmentesseget tudtak-e bizonyitani, hanem az, hogy mondhato-e, hogy a hazug paradoxonanak valamifele feloldasat adja.

tessek a targynal maradni!

--Math 2005. július 22., 10:31 (CEST)

"Azt en is megjegyzem, hOgy Russelt tul korulmenyesnek talaltak a matematikusok."

A matematikusok általában semmit sem gondolnak a filozófiai logikáról. Russellt egyszerűen nem vették figyelembe, de Gödelt sem. Erről azonban nem célszerű írni a cikkben, mert ez mégis csak egy vélemény.

Olyan a típuselméletben nincs, hogy a "S="nem igaz(S)"", azaz, hogy egy S mondat egyenlő(?) valamivel. Csak olyan van, hogy az S mondat ekvivalens (<=>) valamivel. Mégegyszer hangsúlyozom: nem az a fontos, hogy az "igaz" predikátum ne szerepelhessen formálisan, hanem az, hogy ne legyen az elméletben ellenmondás. Az "igaz" vagy "levezethető" formális megfelelője anélkül is letrejöhet (sőt létrejön) a tágynyelvben, ha eredetileg nem tettük bele.

Gödel cikke nem matematikai természetű, hanem logikai. Russell principáját csak logikusok használták. Amikor a matematikai logika már matematikai résztudománnyá fejlődött, akkor meg már a ZF volt a divat. A logikusokon kívül semelyik matematikus sem foglalkozott megalapozási kérdésekkel, így nem volt szüksége a típuselméletre.

Én meg azt mondom, hogy nem csak a ZF, hanem az összes axiomatikus elmélet kiküszöböli a hazug paradoxonát azon egyszerű oknál fogva, hogy teljesen mellőzi az "igaz" fogalmát. Ebben a tekintetben a hazug paradoxona szócikk semmilyen kapcsolatban nem áll az axiomatikus igazságfogalmmal.

Amit kiküszöböl ZF és a típ.elm, az a Russell-paradoxon, ami viszont határozottan nem a hazug paradoxona, hanem teljesen más: egy definiálhatósági kérdés. Mozo 2005. július 22., 11:03 (CEST)

Mozo: Ezekre mar fent valaszoltam.

S="nem igaz(S)", ez egy definicio. Lehet, hogy a tipuselmelet nem ezeket a jeloleseket hasznalja. Ha tetszik: S:="nem igaz(S)", vagy akarmi mas, ami ezt jelenti: 'az S mondatot ugy definialjuk, hogy azt jelenti, hogy: "nem igaz(S)"'.

Valami ilyen mondatdefinicios eljarasnak kell lennie a tipuselmeleben. Es azt alltiom, hogy a tipusok hasznalata kizarja pont ezt a mondatdefiniciot. Tehat kizarja a hazug paradoxonat.

megjegyzes: a ZF es a tipuselmeletrol nem bizonyitottak, hogy ellentmondasmentes, de azt sem, hogy ellentmondasos. tehat nem allithatod, hogy letre lehet hozni benne ellentmondast, azaz paradoxont.

--Math 2005. július 22., 11:11 (CEST)

Nem állítottam, hogy akár típ., akár ZF ellentmondásos. Ha mégis, akkor ezt egy nagyon gyenge pillanatomben tettem és elnézést kérek érte.

Nos, Math megnéztem, a típuselméletet a Kneale könyvben és most összeszedem 3 pontban amit találtam. Megjegyzem, sokban igazad volt, felvezetem a szócikkre amit találtam és ezennel részemről a vitát lezártnak tekintem.

1) A russelli megoldás tényleg egyfajta (de kétség kívüli!) feloldását jelenti a hazug antinómiájának. A kiküszöbölést az úgy nevezett elágaztatott típuselméletben lehet elvégezni, mely nem engedi meg, hogy bizonyos mondatfunktorok (mint az "igazság"), sajátmagukra vonatkozzanak. Az problémám azonban az, hogy közben Russell nem definiálja az igazság fogalmát a formális mondatokra nézve. Nem mondhatjuk például ezt: "A típuselmélet egy [S] formális mondatata igaz." Ehelyett az "igazság" egy, a rendszeren belüli mondatfunktor-rendszer lesz, vagyis ezt állíthatjuk csupán:

"$[S]_{n}[igaz]_{n+1}$ levezethető"

azaz az [S] n-edik rendű mondat bizonyíthatóan az [igaz] n+1 -edik rendű igazságfunktor alá esik. Nota bene: formális levezethetőségről van szó, mert a rendszeren kívüli módon a rendszerbeli mondatok (generális) "igazsága" nincs definiálva Russell elméletében. Ilyen értelemben Russell egy "formális" paradoxonfeloldási módot talált, mely olyan "igaz" fogalmat tartalmaz, aminek nem tud elszámolni a jelentésével (tekintve, hogy jelentést csak a metaelméletben lehet adni egy mondatfunktornak).

2) A típuselmélet matematikai alkalmazásairól - tehát a szócikket nem érintő kérdésekről. Az egyszerű típuselmélet csak a Cantor és Russell-antinómiákat oldja fel, ami nem baj, mert a matematikában nem szerepel az "igaz" fogalma, csak a levezethetőségé. Ellenben Russellnek fel kellett tennie két súlyos axiómát (az elágaztatott típuselméltben is) a végtelenségit és a redukálhatóság axiómáját, ami a "hard"-logicista programnak szintén a végét jelenti, mert ezek szerint a számok mégsem logikailag definiálhatók.

3) Amennyiben a típuselmélet tartalmazza a természetes számok fogalmát úgy a típuselmélet metaelméletében nem lehet definiálni a külső "igazság" fogalmát az arisztotelészi értelemben. Vagy ha mégis megkíséreljük, akkor a metaelmélet azonnal ellentmondásossá válik, így alkalmatlanná válik feladata betöltésére. Ez azt jelenti, hogy a típuselméletre vonatkozóan nem lehet bevezetni egy releváns igazságfogalmat. Ez Tarski nemdefiniálhatósági tétele. Mozo 2005. július 23., 00:27 (CEST)

Mozo: Hat sajnos ezt nem tudtam tokeletesen kovetni. Remelem masok sem.:)

A szocikkben ez szamomra nem tunik jonak:

"Megjegyezzük, hogy a szemantikával foglalkozó logikusok azért nem részestették előnyben ezt a megoldást, mert tetszőleges S mondatra az "igaz S" állítás egyáltalán nem biztos, hogy vagy levezethető, vagy cáfolható, azaz nem feltétlenül teljesül rá a kizárt harmadik elve. Márpedig az "igazság" adekvát definíciójától elvárjuk, ezt a követelményt."

1) Az igaz, hogy a Godel tetel ertelmeben vannak irrezubilis mondatok, amik tehat se nem bizonyithatoak, se nem cafolhatoak (veges modszerekkel)

2) Ez szerintem nem serti a harmadik kizart elvet. Hiszen ami teljesul, hogy ami bizonyithato, az nem "nem bizonyithato", es ami cafolhato, az nem "nem cafolhato". Ami a harmadik kizart elve. "A vagy nem A = igaz", avagy "nem nem A = A". Egyszeruen a "cafolhato" nem = "nem bizonyithato". Azaz ha A="bizonyithatoi", akkor "nem A" nem = "cafolhato". A harmadik kizart elve nem koveteli meg, hogy "Bizonyithato vagy cafolhato = igaz" ("A vagy B = igaz"). A cafolhato ugyebar nem negaltja a bizonyithatonak, hanem ellentete.

3) Tehat egyreszt szerintem lehetne ugy definialni az "Igaz"-t, hogy "igaz"="levezetheto", "nem igaz"= "nem levezetheto". Annyi problema van benne, hogy teljesul, hogy "nem igaz" = "cafolhato"

4) Ugyanakkor nem szoktak igy definialni Tarsky ota, ez igy van. Tehat a veges levezethetoseget nem szoktak az "igaz" definiciojanak tekinteni.

5) En Carnap Syntaxat olvastam, ott ez szepen le van irva. Egyebkent van ott egy nem veges levezetes, a conlcusion, amire nem ervenyes a Godel-tetel.

6) Osszessegeben az, hogy az "igaz"-t nem szoktuk alevezethetoseggel azonositani, egy igaz megjegyzes, de nem tudom, hogy miert fontos ezt leirni a szocikkben, es hogy emiatt miert is volna Russel megoldasa nemkielegito.

--Math 2005. július 26., 12:57 (CEST)