Vandermonde-determináns

A Vandermonde-determináns egy speciális, a lineáris algebrában és a matematika más ágaiban is gyakran használt nevezetes determináns.

Alakja:

$V(x_1,\dots,x_n)=\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x^2_1 & \dots & x^{n-1}_1\\ 1 & x_2 & x^2_2 & \dots & x^{n-1}_2\\ 1 & x_3 & x^2_3 & \dots & x^{n-1}_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & x_n & x^2_n & \dots & x^{n-1}_n\\ \end{vmatrix}$

A felírásból rögtön látszik, hogy $x_1,\ldots ,x_n$ változóknak majdnem -- előjel erejéig -- szimmetrikus polinomja. Ez a kis hiányosság a szimmetriában adja voltaképp a Vandermonde-determináns diszkrét báját a csoportelméletben, mert $x_1,\ldots ,x_n$ változóknak pontosan azok a páros permutációi, amikkel permutálva a Vandermonde-determináns argumentumait az fixen marad.

Kiszámítása

Értéke szorzattá alakítható:

$V(x_1,\dots,x_n)=\prod_{j<i}(x_i-x_j).$

Bizonyítás

Indukcióval

Ezt az azonosságot n-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Az n=2 eset

$V(x_1,x_2)=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ x_1 & x_2\\\end{vmatrix}=x_2-x_1$

nyilvánvaló.

Tegyük fel, hogy n-1-re tudjuk az állítást és adott a

$V(x_1,\dots,x_n)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1\\ x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n\\ x^2_1 & x^2_2 & x^2_3 & \dots & x^2_n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & x^{n-1}_3 & \dots & x^{n-1}_n\\ \end{vmatrix}$

determináns.

Az első oszlopot a további oszlopokból kivonva

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 & \dots & x_n-x_1\\ x^2_1 & x^2_2-x^2_1 & x^2_3-x^2_1 & \dots & x^2_n-x^2_1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2-x^{n-1}_1 & x^{n-1}_3-x^{n-1}_1 & \dots & x^{n-1}_n-x^{n-1}_1\\ \end{vmatrix}$

adódik.

E determinánst az első sor szerint kifejtve kapjuk, hogy értéke megegyezik a következő determináns értékével:

$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 & \dots & x_n-x_1\\ x^2_2-x^2_1 & x^2_3-x^2_1 & \dots & x^2_n-x^2_1\\ x^3_2-x^3_1 & x^3_3-x^3_1 & \dots & x^3_n-x^3_1\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x^{n-1}_2-x^{n-1}_1 & x^{n-1}_3-x^{n-1}_1 & \dots & x^{n-1}_n-x^{n-1}_1\\ \end{vmatrix}$

adódik.

Az első oszlopból $(x_2-x_1)$-et, a másodikból $(x_3-x_1)$-et, … sorra kiemelve az alábbi determináns marad vissza:

$\begin{vmatrix} 1 & \dots & 1\\ x_2+x_1 & \dots & x_n+x_1\\ x^2_2+x_2x_1+x^2_1 & \dots & x^2_n+x_nx_1+x^2_1\\ \vdots & \ddots &\vdots \\ x^{n-2}_2+x^{n-3}_2x_1+\cdots+x^{n-2}_1 & \dots & x^{n-2}_n+x^{n-3}_nx_1+\cdots+x^{n-2}_1 \\ \end{vmatrix}$

Az utolsó, utolsó előtti,… sorból egymásután levonva az előző sor $x_1$-szeresét $V(x_2,\dots,x_n)$-et kapjuk azaz

$V(x_1,\dots,x_n)=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)V(x_2,\dots,x_n)$

és indukciós feltevésünkkel készen vagyunk.

Felhasználva, hogy antiszimmetrikus polinom

Könnyen látható, hogy $V(x_1,\dots,x_n)$-nek mint $x_1$ polinomjának gyöke $x_2$, hiszen beírva a determináns első két sora lineárisan összefügg. Így $(x_1-x_2)$ kiemelhető, és ezért a sajátos szimmetriából adódóan $\pm(x_i-x_j)$ is minden különböző i,j-re, de tekintve, hogy a $x_1,\ldots,x_n$ polinomjainak a gyűrűjében az $x_i-x_j$ alakú polinomok, ahol $i\neq j$, páronként relatív prímek, ezek szorzata is kiemelhető V-ből. Mivel ennek a szorzatnak a foka $\binom{n}{2}$, azaz éppen V foka, egymástól csak konstans szorzóban térnek el. Hogy ezt a konstansszorzót megállapítsuk, elegendő ugyanannak a tagnak az együthatóját megvizsgálnunk: Mindkét polinomban könnyen meghatározhatjuk $x_2x_3^2\ldots x_n^{n-1}$ együtthatóját, ami történetesen mindkét ízben egy, így kapjuk, hogy:

$V=\prod_{j<i}{(x_i-x_j)}$. Q. E. D.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Fuchs László: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe; Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest 1971.