Vandermonde-determináns

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Vandermonde-determináns egy speciális, a lineáris algebrában és a matematika más ágaiban is gyakran használt nevezetes determináns.

Alakja:

V(x_1,\dots,x_n)=\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x^2_1 & \dots & x^{n-1}_1\\
1 & x_2 & x^2_2 & \dots & x^{n-1}_2\\
1 & x_3 & x^2_3 & \dots & x^{n-1}_3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & x_n & x^2_n & \dots & x^{n-1}_n\\
\end{vmatrix}

A felírásból rögtön látszik, hogy x_1,\ldots ,x_n változóknak majdnem -- előjel erejéig -- szimmetrikus polinomja. Ez a kis hiányosság a szimmetriában adja voltaképp a Vandermonde-determináns diszkrét báját a csoportelméletben, mert x_1,\ldots ,x_n változóknak pontosan azok a páros permutációi, amikkel permutálva a Vandermonde-determináns argumentumait az fixen marad.

Kiszámítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Értéke szorzattá alakítható:

V(x_1,\dots,x_n)=\prod_{j<i}(x_i-x_j).

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Indukcióval[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ezt az azonosságot n-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Az n=2 eset

V(x_1,x_2)=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ x_1 & x_2\\\end{vmatrix}=x_2-x_1

nyilvánvaló.

Tegyük fel, hogy n-1-re tudjuk az állítást és adott a

V(x_1,\dots,x_n)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \dots & 1\\
x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n\\
x^2_1 & x^2_2 & x^2_3 & \dots & x^2_n\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & x^{n-1}_3 & \dots & x^{n-1}_n\\
\end{vmatrix}

determináns.

Az első oszlopot a további oszlopokból kivonva

\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 & \dots & x_n-x_1\\
x^2_1 & x^2_2-x^2_1 & x^2_3-x^2_1 & \dots & x^2_n-x^2_1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2-x^{n-1}_1 & x^{n-1}_3-x^{n-1}_1 & \dots & x^{n-1}_n-x^{n-1}_1\\
\end{vmatrix}

adódik.

E determinánst az első sor szerint kifejtve kapjuk, hogy értéke megegyezik a következő determináns értékével:

\begin{vmatrix}
x_2-x_1 & x_3-x_1 & \dots & x_n-x_1\\
x^2_2-x^2_1 & x^2_3-x^2_1 & \dots & x^2_n-x^2_1\\
x^3_2-x^3_1 & x^3_3-x^3_1 & \dots & x^3_n-x^3_1\\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
x^{n-1}_2-x^{n-1}_1 & x^{n-1}_3-x^{n-1}_1 & \dots & x^{n-1}_n-x^{n-1}_1\\
\end{vmatrix}

adódik.

Az első oszlopból (x_2-x_1)-et, a másodikból (x_3-x_1)-et, … sorra kiemelve az alábbi determináns marad vissza:

\begin{vmatrix}
1 &  \dots & 1\\
x_2+x_1 &  \dots & x_n+x_1\\
x^2_2+x_2x_1+x^2_1 &  \dots & x^2_n+x_nx_1+x^2_1\\
\vdots &  \ddots &\vdots \\
x^{n-2}_2+x^{n-3}_2x_1+\cdots+x^{n-2}_1 &  \dots & x^{n-2}_n+x^{n-3}_nx_1+\cdots+x^{n-2}_1 \\
\end{vmatrix}

Az utolsó, utolsó előtti,… sorból egymásután levonva az előző sor x_1-szeresét V(x_2,\dots,x_n)-et kapjuk azaz

V(x_1,\dots,x_n)=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)V(x_2,\dots,x_n)

és indukciós feltevésünkkel készen vagyunk.

Felhasználva, hogy antiszimmetrikus polinom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Könnyen látható, hogy V(x_1,\dots,x_n)-nek mint x_1 polinomjának gyöke x_2, hiszen beírva a determináns első két sora lineárisan összefügg. Így (x_1-x_2) kiemelhető, és ezért a sajátos szimmetriából adódóan \pm(x_i-x_j) is minden különböző i,j-re, de tekintve, hogy a x_1,\ldots,x_n polinomjainak a gyűrűjében az x_i-x_j alakú polinomok, ahol i\neq j, páronként relatív prímek, ezek szorzata is kiemelhető V-ből. Mivel ennek a szorzatnak a foka \binom{n}{2}, azaz éppen V foka, egymástól csak konstans szorzóban térnek el. Hogy ezt a konstansszorzót megállapítsuk, elegendő ugyanannak a tagnak az együthatóját megvizsgálnunk: Mindkét polinomban könnyen meghatározhatjuk x_2x_3^2\ldots x_n^{n-1} együtthatóját, ami történetesen mindkét ízben egy, így kapjuk, hogy:

V=\prod_{j<i}{(x_i-x_j)}. Q. E. D.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
  • Fuchs László: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe; Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest 1971.