Turán-gráf

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A T_m(n) n csúcsú, m osztályos Turán-gráf alatt a következő gráfot értjük:

Turan 13-4.svg

Az ilyen egy-egy osztályban a csúcsok függetlenek, tehát nem fut közöttük él. Viszont egy csúcs minden egyéb csúccsal össze van kötve a saját osztályán kívül (ezt jelzik a dupla párhuzamos vonalak). A pontok, annyira amennyire lehetséges, egyenletesen vannak szétosztva az osztályok között, vagyis bármely két osztály elemszámának eltérése legfeljebb 1.

A Turán-gráfoknak az a különleges tulajdonsága, hogy a Turán-tétel szerint ezek a legtöbb élt tartalmazó olyan n csúcsú gráfok, amelyek nem tartalmaznak m+1 csúcsú klikket. Vagyis, ha G egy n csúcsú, m+1 csúcsú klikket nem tartalmazó gráf, akkor |E(G)| \leq |E(T_m(n))|.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A T_m(n) Turán-gráf minden csúcsa n-\lceil n/r\rceil vagy n-\lfloor n/r\rfloor élű, éleinek teljes száma

\frac{1}{2}(n^2 - (n\bmod m)\lceil n/m\rceil^2 - (r-(n\bmod m))\lfloor n/m\rfloor^2) \leq \left(1-\frac1m\right)\frac{n^2}{2}.

Reguláris gráf, ha m|n (m osztja n-et).

Minden Turán-gráf kográf, azaz megalkotható különálló csúcsokból komplementer és diszjunkt unió műveletek elvégzésével. Ez a következő módon történhet: minden osztályt előállítunk különálló pontok halmazaként, majd ennek vesszük a komplementerét. Ezután ezen gráfok uniójának komplementere épp a Turán-gráfot adja.

Chao és Novacky 1982-ben bizonyították, hogy a Turán-gráfok kromatikusan egyediek, azaz nincs más olyan gráf, melyek kromatikus polinomja megegyezik valamely Turán-gráféval.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Turán graph című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.