Trapézszabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A kék f(x) függvényt a piros lineáris függvény közelíti.

A matematikában a trapéz szabály egy közelítő eljárás a következő határozott integrál meghatározására:

 \int \limits _{a}^{b} f(x)\,dx.

A trapézszabály voltaképpen a görbe alatti területet egy a görbe által meghatározott trapéz területével helyettesíti.

Húrtrapézformula[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Húrtrapéz

Itt a két végpontot összekötő húr alatti trapézzal helyettesítjük a görbe alatti területet:

 \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx (b-a)\frac{f(b)+f(a)}{2}

Ha f második deriváltja folytonos [a,b]-n, akkor

\left|\int_{a}^{b} f(x)\,dx - (b-a)\frac{f(b)-f(a)}{2}\right| \le\frac{(b-a)^3}{12} \max_{a\le x\le b} \left|f''(x)\right|.

Összetett húrtrapézformula[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összetett trapézformula

Hogy a közelítést pontosabbá tegyük, az integrálási [a, b] tartományt N kisebb, diszjunkt részintervallumokra bontjuk;

Legyen f értéke x_1,\ldots,x_N helyeken rendre y_1,\ldots,y_N, ekkor az integrál a következőképpen közelíthető:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=2}^{N} (x_i-x_{i-1})(y_i+y_{i-1}),

speciálisan, ha a részintervallumok egyenlő hosszúak:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{N} \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}(f(a+k\frac{N}{b-a})+f(a+(k-1)\frac{N}{b-a})=\frac{b-a}{N}\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{N-1}f(a+k\frac{b-a}{N})\right).

Érintőtrapézformula[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Érintőtrapéz

Az érintőtrapézformula azzal a trapézzal közelíti a területet, melynek az egyetlen tengelyekkel nem feltétlen párhuzamos oldala tartalmazza az f függvény gráfjának [a,b] intervallum felezőpontjához tartozó pontját. Így:

 \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx (b-a)f\left(\frac{(b-a)}{2}\right) ,

ahol, ha f második deriváltja folytonos [a,b]-n, akkor

\left|  \int_{a}^{b} f(x)\,dx - (b-a)f\left(\frac{(b-a)}{2}\right)  \right| \le \frac{(b-a)^3}{24} \max_{a\le x \le b} {\left| f''(x) \right|}

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Trapezium Rule
  • Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50023-0.
  • Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (December 1990), "Characterization of the speed of convergence of the trapezoidal rule", Numerische Mathematik 57 (1): 123–138, doi:10.1007/BF01386402, ISSN 0945-3245

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]