Newton–Cotes-formula

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A numerikus analízisben a Newton–Cotes-kvadratúraformulák (amiket Newton–Cotes-szabályoknak is neveznek) olyan képletek csoportja, amelyek numerikus integrálásra (más néven kvadratúrákra) szolgálnak, amik alapjául az integrálni kívánt intervallumot n+1 egyenlő távolságra (lépésközre) osztunk fel. Ezeket a módszereket Isaac Newtonról és Roger Cotesról nevezték el.

A Newton–Cotes-kvadratúraformulák nagyon hatékonyak, ha meghatározottak a függvényértékek az adott ekvidisztáns (egymástól egyenlő távolságra lévő) pontokban. Ha lehetséges más pontokban is meghatározni a függvény értékét, akkor vannak hatékonyabb, célszerűbb módszerek is az integrál kiszámítására, pl.: Gauss-kvadratúra és a Clenshaw–Curtis-kvadratúra.

Leírás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Feltesszük, hogy az f függvény értékeit ismerjük az egymástól egyenlő távolságra lévő (ekvidisztáns) xi pontokban, ahol i = 0, …, n. A Newton–Cotes-kvadratúraformuláknak két típusát különböztetjük meg: a "nyitott" típus csak a belső alappontokkal ( x1, x2,…,xn-1 ) számol, míg a "zárt" típus az intervallum kezdő- és végpontját is beleveszi (tehát az alappontok: x0, x1, x2,…, xn-1, xn ). Az n-ed fokú Newton–Cotes-formula általános alakja:

\int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)

ahol xi = h i + x0, h (más néven lépésköz) egyenlő (xnx0)/n-nel. wi a súlyokat jelöli.

Ahogy az alábbiakban látható, a súlyozást a Lagrange-alappolinomokból kaptuk. Ez azt jelenti, hogy a súlyok csak az xi -től függnek, és nem az adott f függvény értékétől. Legyen L(x) a Lagrange interpolációs polinom megadott alappontjai (x0, f(x0) ), …, (xn, f(xn) ), akkor

 \int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x)\,dx = \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x)\, dx
= \sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}.

A nyitott n-ed fokú Newton–Cotes-formula:

\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n-1} w_i\, f(x_i)

A súlyokat hasonlóan kereshetjük meg, mint a zárt képletnél.

Instabilitás magas alappontszám esetén[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Newton–Cotes-kvadratúraformulákat minden n alappontra el lehet készíteni. Igaz ugyan, hogy a Newton-Cotes szabály alkalmazása magas alappontszám esetén néha a Runge-jelenséget vonhatja maga után, ahol a hibatag exponenciálisan növekszik. Más módszerek, mint a Gauss-kvadratúra és a Clenshaw–Curtis-kvadratúra ahol nem egyenlő a lépésköz (és a pontok az intervallum végpontjaiban torlódnak), sokkal stabilabbak, pontosabbak és elfogadottabbak, mint a Newton–Cotes-módszer. Ha ezeket a módszereket nem tudjuk használni, mert a függvényértékek csak ekvidisztáns (egyenlő lépésközű) pontokban ismertek, akkor a Runge-jelenséget az alábbiakban ismertetett összetett formulával lehet elkerülni.

Zárt Newton–Cotes-formulák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a táblázat néhány zárt Newton–Cotes-formulát tartalmaz. Az f_i az f(x_i). jelölést rövidíti.

Zárt Newton–Cotes-formulák
Fok/alappontok száma Elnevezés Képlet Hibatag
1 Trapézszabály  \frac{h}{2} (f_0 + f_1) -\frac{h^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)
2 Simpson-szabály  \frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2) -\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)
3 Simpson 3/8 szabály  \frac{3h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3) -\frac{3h^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)
4 Boole-szabály, vagy
Bode-szabály (sic)
 \frac{2h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4) -\frac{8h^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)

Boole szabályát egy régebbi sajtóhiba miatt tévesen nevezik Bode szabályának, ami Abramowitz és Stegun egy korai kézikönyvében volt található.[1].

A lépésköz exponenciális növelése a hibatagban, a közelítés hibáját csökkenti. Az f függvény deriváltja a hibatagban megmutatja, hogy melyik polinomot lehet pontosan integrálni (ahol a hibatag egyenlő nullával). Minden második lépésnél a hibatag pontossága kettővel nő. A hibatag (ξ) a és b közé esik.


Nyitott Newton–Cotes-formulák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az alábbi táblázat felsorol néhány nyitott Newton-Cotes kvadratúra formulát.

Nyitott Newton–Cotes-formulák
Fok/alappontok száma Elnevezés Képlet Hibatag
0 Téglalapszabály 2 h f_1\, \frac{h^3}{24}\,f^{(2)}(\xi)
1  \frac{3h}{2} (f_1 + f_2)  \frac{h^3}{4}\,f^{(2)}(\xi)
2  \frac{4h}{3} (2 f_1 - f_2 + 2 f_3)  \frac{28h^5}{90}f^{(4)}(\xi)
3  \frac{5h}{24} (11 f_1 + f_2 + f_3 + 11 f_4)  \frac{95h^5}{144}f^{(4)}(\xi)

Összetett szabályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahhoz, hogy a Newton–Cotes-szabály pontos értéket adjon, a h lépésköznek kicsinek kell lennie, ami azt jelenti, hogy az integrációs intervallumnak [a, b] is kicsinek kell lennie, ami az esetek nagy részében nem fordul elő. Éppen ezért, a numerikus integrálást az adott [a, b] intervallumon felosztják kisebb részintervallumokra, majd ezeken alkalmazzák a Newton–Cotes-szabályt, végül ezeken a részintervallumokon kapott eredményeket összegzik és kapják a végső eredményt. Ezt nevezzük összetett szabálynak, lásd Numerikus integrálás.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • M. Abramowitz és I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (lásd 25.4.)
  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1977. (lásd 5.1.)
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (lásd 4.1.)
  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (lásd 3.1.)

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]