Simpson-módszer

A Simpson módszer lényegében az f (x) (kék) függvényt a P (x) (piros) függvénynyel közelíti .

A numerikus analízisben a Simpson-módszer egy numerikus integrálási módszer, amellyel a határozott integrál numerikus értékét közelítjük meg, mégpedig a következő képlettel:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$.

A módszer Thomas Simpson (1710–1761) angol matematikus munkája.

Levezetés

A Simpson-módszert többféleképpen is levezethetjük.

Középpont és trapéz szabály

Lényegében az

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx:$

az f (x) függvény x tengelylyel bezárt területét jelenti. Ezt a területet megközelíthetjük kétféleképpen, mégpedig a középpont-szabállyal:

$M = (b-a) f \left( \frac{a+b}{2} \right)$

és a trapéz-szabállyal:

$T = \tfrac12 (b-a) (f(a)+f(b)).$

A közelítés úgy lesz a legpontosabb, ha a következő súlyozott közepet vesszük:

$\frac{2M+T}{3}.$

S ha elvégezzük a szükséges számításokat, akkor megkapjuk a Simpson szabályt.

3/8 Simpson-módszer

Ez a módszer egy pontosabb numerikus integrálási módszer, amelyet szintén Thomas Simpson javasolt. Itt a következőképpen közelítjük meg az integrált:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{3h}{8}\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a+b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a+2b}{3}\right) + f(b)\right] = \frac{(b-a)}{8}\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a+b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a+2b}{3}\right) + f(b)\right].$

Ez a módszer körülbelül kétszer olyan pontos, mint a hagyományos, de felhasznál még egy függvényértéket.

Hivatkozások

• Atkinson, Kendall A.. An Introduction to Numerical Analysis, 2nd, John Wiley & Sons (1989). ISBN 0-471-50023-2 
• Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas. Numerical Analysis, 7th, Brooks/Cole (2000). ISBN 0-534-38216-9 
• Matthews, John H.: Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration. Numerical Analysis - Numerical Methods Project. California State University, Fullerton, 2004. (Hozzáférés: 2008. november 11.)
• Press, William H., Brian P. Flannery, William T. Vetterling, and Saul A. Teukolsky. Numerical Recipes in Pascal: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press (1989). ISBN 0521375169 
• Süli, Endre and Mayers, David. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press (2003). ISBN 0-521-81026-4 (hardback), ISBN 0-521-00794-1 (paperback) 
• Numerical Methods with Applications, 2008.
• Weisstein, Eric W.: Newton-Cotes Formulas. MathWorld--A Wolfram Web Resource.. MathWorld, 2010. (Hozzáférés: 2010. augusztus 2.)

További információk

• Weisstein, Eric W.: Simpson's Rule. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SimpsonsRule.html (angolul)
• Simpson's Rule for Numerical Integration
• Application of Simpson's Rule - Earthwork Excavation
• Simpson's 1/3rd rule of integration - Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple at Numerical Methods for STEM undergraduate