Simpson-módszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Simpson módszer lényegében az f (x) (kék) függvényt a P (x) (piros) függvénynyel közelíti .

A numerikus analízisben a Simpson-módszer egy numerikus integrálási módszer, amellyel a határozott integrál numerikus értékét közelítjük meg, mégpedig a következő képlettel:

 \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].

A módszer Thomas Simpson (1710–1761) angol matematikus munkája.

Levezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Simpson-módszert többféleképpen is levezethetjük.

Középpont és trapéz szabály[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lényegében az

 \int_{a}^{b} f(x) \, dx:

az f (x) függvény x tengellyel bezárt területét jelenti. Ezt a területet megközelíthetjük kétféleképpen, mégpedig a középpont-szabállyal:

 M = (b-a) f \left( \frac{a+b}{2} \right)

és a trapéz-szabállyal:

 T = \tfrac12 (b-a) (f(a)+f(b)).

A közelítés úgy lesz a legpontosabb, ha a következő súlyozott közepet vesszük:

 \frac{2M+T}{3}.

S ha elvégezzük a szükséges számításokat, akkor megkapjuk a Simpson szabályt.

3/8 Simpson-módszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a módszer egy pontosabb numerikus integrálási módszer, amelyet szintén Thomas Simpson javasolt. Itt a következőképpen közelítjük meg az integrált:

 \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{3h}{8}\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a+b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a+2b}{3}\right) + f(b)\right]
= \frac{(b-a)}{8}\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a+b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a+2b}{3}\right) + f(b)\right].

Ez a módszer körülbelül kétszer olyan pontos, mint a hagyományos, de felhasznál még egy függvényértéket.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]