Szorzatösszeg
Szorzatösszegnek nevezzük egy gyűrű elemeiből képzett és véges sorozatok megfelelő tagjai szorzatának összegét, azaz a sorozatok tagjaiból képzett
kifejezést.
Szorzatösszegek tulajdonságai
Rögzített és sorozatok permutációiból képezhető szorzatösszegek közül rendezett gyűrűben azoknak az értéke a legnagyobb, amelyeknek esetében a két sorozat permutációi egyformán rendezettek, és azoknak az értéke a legkisebb, amelyeknek esetében a két sorozat permutációi ellentétesen rendezettek.
Bizonyítás:
Tekintsük a szorzatösszeget, és tegyük fel, hogy az és sorozatok nem egyformán rendezettek, azaz van olyan indexpár, amelyre , de . Képezzük ekkor a sorozatnak azt a permutációját, amelyben és helyet cserél, és vizsgáljuk az ebből alkotott szorzatösszeg és az eredeti szorzatösszeg különbségét:
tehát ha a szorzatösszes nem egyformán rendezett permutációkból készült, akkor mindig található nagyobb értékű szorzatösszeget előállító permutációpár.
Hasonló módon indokolható, hogy a legkisebb értékű szorzatösszeg éppen az ellentétesen rendezett permutációkból készíthető.