Schur-egyenlőtlenség

A Schur-egyenlőtlenség, melyet Issai Schurról neveztek el, azt mondja ki, miszerint minden nemnegatív valós x, y, z-re és pozitív t-re,

$x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0$,

ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x = y = z vagy kettő egyezik és a harmadik 0. Ha t egy páros pozitív egész, akkor az egyenlőtlenség minden x, y, z valósra teljesül.

Amikor $t=1$, a következő közismert egyenlőtlenséget kaphatjuk:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)$

Bizonyítás

Mivel az egyenlőtlenség szimmetrikus x, y, z-re, vehetjük úgy, hogy $x\geq y\geq z$. Ekkor a

$(x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0\,$

egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, hiszen minden tagja legalább 0. Ez pedig átrendezhető a Schur-egyenlőtlenségre.

Általánosítás

A Schur-egyenlőtlenség egy általánosítása a következő: Legyenek a, b, c pozitív valós számok. Ha (a,b,c) és (x,y,z) ugyanúgy rendezettek, akkor:

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.$

2007-ben Valentin Vornicu román matematikus megmutatta, miszerint az alábbi, még általánosabb egyenlőtlenség teljesül:

Legyen $a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R}$, ahol $a\geq b\geq c$, és vagy $x\geq y\geq z$ vagy $z\geq y\geq x$. Legyen $k\in \mathbb {Z} ^{+}$, és legyen $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ vagy konvex vagy monoton. Ekkor,

${f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,$

Ezen egyenlőtlenség azon formája, mely a Schur-egyenlőtlenséget adja: x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Schur's inequality című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.