Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség

A mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, ami szerint ha $a_{1},\dots ,a_{n}$ pozitív valós számok, akkor

${\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}$

teljesül, tehát n szám mértani közepe legalább akkora, mint a harmonikus közepe. Egyenlőség csak akkor van, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$.

Bizonyítása

Legyenek $a_{1},\dots ,a_{n}$ pozitív valós számok. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a szintén pozitív valós ${\frac {1}{a_{1}}},\dots ,{\frac {1}{a_{n}}}$ számokra:

${\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}\cdots {\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}$

Felhasználva a gyökvonás azonosságait:

${\frac {1}{\sqrt[{n}]{{a_{1}}\cdots {a_{n}}}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}$

Átszorozva készen is vagyunk:

${\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}$

Az egyenlőtlenség iránya nem változott, hiszen csupa pozitív szám szerepelt. Egyenlőség csak ${\frac {1}{a_{1}}}=\dots ={\frac {1}{a_{n}}}$ számokra, azaz $a_{1}=\cdots =a_{n}$ esetén teljesül (ez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből adódik).