Középvonal

A középvonal a matematikában a háromszögekkel és a trapézokkal kapcsolatban használt fogalom. A háromszög középvonalai a két-két oldalának felezőpontját összekötő szakaszok, amik négy egybevágó, az eredeti háromszöghöz hasonló részre osztják a háromszöget. A trapéz középvonala a szárainak felezőpontját összekötő szakasz, ami párhuzamos az alapokkal, és felezi a trapéz magasságát. Hossza megegyezik az alapok hosszának számtani közepével. Ha a trapéz paralelogramma, akkor bármelyik párhuzamos oldalpár tekinthető szárnak, ezért a paralelogrammáknak két középvonaluk van.

Tétel a háromszög középvonaláról

Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza annak a fele.

Bizonyítás:

Az ABC háromszögben legyen $F$ az $AC$, $G$ pedig a $BC$ oldal felezőpontja. Az $FGC$ háromszög hasonló az $ABC$ háromszöghöz, mivel van egy közös szögük ($ACB$ szög), e szöget közrefogó két oldal aránya megegyezik (1:2). Így a hasonlóság miatt egyrészt $FG$ az $AB$ oldal fele, másrészt $FG$ párhuzamos $AB$-vel (a szögek egyenlősége miatt).

Következmények:

• A háromszög középvonalai a háromszöget négy, az eredeti háromszöghöz hasonló háromszögre osztják.
• A súlyvonalak tétele: a súlyvonalak egy pontban metszik, és harmadolják egymást.

Tétel a trapéz középvonaláról

Tétel:

A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal, és hossza egyenlő azok hosszának számtani közepével.

Bizonyítás:

A paralelogramma középvonalának tulajdonságain alapul.

Ha a trapézt az egyik szár felezőpontjára tükrözzük, akkor az eredeti és a tükörképként kapott trapézt összetéve paralelogrammát kapunk. Tekintjük ennek a középvonalát. Ez párhuzamos és egyenlő hosszú a paralelogramma megfelelő oldalpárjával, amely hossz egyenlő a trapéz alapjainak hosszának összegével. Ez megegyezik a trapéz középvonalának hosszának kétszeresével.

Tétel a paralelogramma középvonaláról

Tétel:

A paralelogramma egy párhuzamos oldalpárjának felezőpontjait összekötő középvonal párhuzamos, és egyenlő hosszú a másik oldalpárral.

Bizonyítás:

Legyenek a paralelogramma csúcsai rendre A, B, C, és D. Jelölje F₁ az AD, F₂ a BC oldal felezőpontját. AD és BC párhuzamos, és egyenlő hosszú, ezért AF₁ párhuzamos, és egyenlő hosszú BF₂-vel. Tehát AF₁F₂B paralelogramma.

Források

• http://erettsegi.com/matematika/kozepvonal/
• http://www.akg.hu/matek/docs/geotetelek.doc
• http://www.bethlen.hu/matek/Mathist/Forras/Kozepvonal.htm