Hippokratész holdacskái

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hippokratész holdacskái
Holdacskák négyszögeknél

Hippokratész holdacskái egy derékszögű háromszöghöz hozzárendelt két síkidom. A síkidomokat úgy kapjuk, hogy a derékszögű háromszög két befogója fölé rajzolt félkörből kivonjuk az átfogó fölé rajzolt – a háromszöget tartalmazó – félkör (avagy a háromszög köré írható kör) és a befogó fölötti félkörök metszetét.

A két holdacska területének összege egyenlő a derékszögű háromszög területével.

Az állítás a Pitagorasz-tétel alapján bizonyítható:

A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): a^2 + b^2 = c^2.

A félkörök területe:

a^2\pi/8

b^2\pi/8

c^2\pi/8

Ezt az eredeti egyenletbe belehelyettesítve: (a^2\pi/8)+(b^2\pi/8)=c^2\pi/8

Az egyenletet 8-al szorozva:

(a^2\pi)+(b^2\pi)=c^2\pi


Az egyenletet PI-vel osztva:

a^2+b^2=c^2

Ezzel bizonyítottuk, hogy az az állítás miszerint derékszögű háromszög befogóira emelt félkörök területének összege azonos az átfogóra emelt félkör területével egyenértékű azzal az állítással, hogy a tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével, ami a Pitagorasz-tétel.

Az átfogóra emelt félkör területe a háromszög területének levonása után (a (a^2\pi/8)+(b^2\pi/8)=c^2\pi/8 egyenlőséget kihasználva):

(a^2\pi/8)+(b^2\pi/8)-t_\Delta ahol t_\Delta a háromszög területe.

A rajzról leolvasható, hogy a fekete félholdak területe:

(a^2\pi/8)+(b^2\pi/8)-((a^2\pi/8)+(b^2\pi/8)-t_\Delta)=t_\Delta


A tételt a matematikus Khioszi Hippokratész állította fel. Névrokona Hippokratész, a kószi orvosi iskola vezetője volt.


Hasonlóképpen értelmezhetők a holdacskák húrnégyszögek esetén is.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hippokratész holdacskái, Matematikai kislexikon, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1972