Gauss-lemma
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
![]() |
Ennek a szócikknek hiányzik vagy nagyon rövid, illetve nem elég érthető a bevezetője. Kérjük, , ami jól összefoglalja a cikk tartalmát, vagy jelezd észrevételeidet a cikk vitalapján. |
A Gauss-lemma egy egész együtthatós polinomokra vonatkozó állítás, amit az algebrában nemcsak a polinomok elméletében alkalmaznak.
Primitív polinomok
[szerkesztés]Egy egész együtthatós polinomot primitívnek nevezünk, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
Például primitív polinom.
A lemma állítása
[szerkesztés]Primitív polinomok szorzata is primitív.
A lemma bizonyítása
[szerkesztés]Indirekt tegyük fel, hogy a primitív és polinomok szorzata nem primitív. A szorzat
ahol
Van tehát olyan prímszám, ami minden -nak osztója. Legyen a legkisebb index, amire nem osztója -nak és hasonlóan legyen a legkisebb index, amire nem osztója -nek. Ekkor a azon tagok összege, amikre teljesül. Ebben az összegben
- minden tag osztható -vel, amiben ,
- minden tag osztható -vel, amiben ,
- a fennmaradó egyetlen tag, viszont nem osztható -vel.
Tehát nem osztható -vel, ellentmondás.
Alkalmazás
[szerkesztés]- Ha a egész együtthatós polinom felbomlik a racionális együtthatós és polinomok szorzatára, akkor olyan egész együtthatós és polinomok szorzatára is felbontható, ahol fokszáma megegyezik -ével, fokszáma pedig -ével.
Valóban, legyen az nevezőinek legkisebb közös többszöröse (azaz ekkor egész együtthatós) illetve az polinom együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor , ahol szintén egész együtthatós polinom. Elosztva -val adódik. Legyen hasonlóan a nevezőinek legkisebb közös többszöröse és a együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor hasonlóan az előzőekhez adódik. Legnagyobb közös osztók kiemelése miatt és primitív polinomok. Továbbá .
Amit tudunk még, az
egyenlőség.
Azt is feltehetjük, hogy , hiszen, ha például -nak és -nek lenne egy közös osztója, akkor -t és -t -vel osztva ismét egyenlőséget kapunk.
Kaptuk tehát, hogy . Felszorozva
adódik. Mivel egész együtthatós, osztja a bal oldali polinom minden együtthatóját. De , ezért osztja minden együtthatóját. A Gauss-lemma miatt ez csak úgy lehet, ha , azaz . Ezzel készen vagyunk, hiszen a felbontása egész együtthatós polinomok szorzatára.