Gauss-lemma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Gauss-lemma egy egész együtthatós polinomokra vonatkozó állítás, amit az algebrában nemcsak a polinomok elméletében alkalmaznak.

Primitív polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy egész együtthatós polinomot primitívnek nevezünk, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.

Például 6x^3-5x+9 primitív polinom.

A lemma állítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Primitív polinomok szorzata is primitív.

A lemma bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Indirekt tegyük fel, hogy a primitív f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n és g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m polinomok szorzata nem primitív. A szorzat

h(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n+m}x^{n+m},

ahol

c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+\cdots+a_kb_0.

Van tehát olyan p prímszám, ami minden c_k-nak osztója. Legyen k a legkisebb index, amire p nem osztója a_k-nak és hasonlóan legyen l a legkisebb index, amire p nem osztója b_l-nek. Ekkor a c_{k+l} azon a_ib_j tagok összege, amikre i+j=k+l teljesül. Ebben az összegben

minden tag osztható p-vel, amiben i<k,
minden tag osztható p-vel, amiben j<l,
a fennmaradó egyetlen tag, a_kb_l viszont nem osztható p-vel.

Tehát c_{k+l} nem osztható p-vel, ellentmondás.

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a H(x) egész együtthatós polinom felbomlik a racionális együtthatós f(x) és g(x) polinomok szorzatára, akkor olyan egész együtthatós F(x) és G(x) polinomok szorzatára is felbontható, ahol F(x) fokszáma megegyezik f(x)-ével, G(x) fokszáma pedig g(x)-ével.

Valóban, legyen a és A az f(x) polinom együtthatói számlálói legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse, hasonlóan b és B a g(x) polinom együtthatói számlálói legnagyobb közös osztója, illetve legkisebb közös többszöröse. Ekkor f(x)=\frac{a}{A}F(x) és g(x)=\frac{b}{B}G(x), ahol F(x), G(x) primitív polinomok. Továbbá (a,A)=(b,B)=1.

Amit tudunk még, az

\frac{a}{A}F(x)\frac{b}{B}G(x)=H(x).

egyenlőség.

Azt is feltehetjük, hogy (a,B)=(A,b)=1, hiszen, ha például a-nak és B-nek lenne egy d>1 közös osztója, akkor a-t és B-t d-vel osztva ismét egyenlőséget kapunk.

Kaptuk tehát, hogy (ab,AB)=1. Felszorozva

ab\cdot F(x)G(x)=AB\cdot H(x)

adódik. Mivel H(x) egész együtthatós, AB osztja a bal oldali polinom minden együtthatóját. De (ab,AB)=1, ezért AB osztja F(x)G(x) minden együtthatóját. A Gauss-lemma miatt ez csak úgy lehet, ha AB=1, azaz A=B=1. Ezzel készen vagyunk, hiszen aF(X)\cdot bG(x) a H(x) felbontása egész együtthatós polinomok szorzatára.