Gauss-lemma

A Gauss-lemma egy egész együtthatós polinomokra vonatkozó állítás, amit az algebrában nemcsak a polinomok elméletében alkalmaznak.

A lemma állítása

Nevezzünk egy egész együtthatós polinomot primitívnek, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1. Ekkor primitív polinomok szorzata is primitív.

A lemma bizonyítása

Indirekt tegyük fel, hogy a primitív $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ és $g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m$ polinomok szorzata nem primitív. A szorzat

$h(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n+m}x^{n+m}$

ahol

$c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+\cdots+a_kb_0.$

Van tehát olyan $p$ prímszám, ami minden $c_k$-nak osztója. Legyen $k$ a legkisebb index, amire $p$ nem osztója $a_k$-nak és hasonlóan legyen $l$ a legkisebb index, amire $p$ nem osztója $b_l$-nek. Ekkor a $c_{k+l}$ azon $a_ib_j$ tagok összege, amikre $i+j=k+l$ teljesül. Ebben az összegben

minden tag osztható $p$-vel, amiben $i<k$,

minden tag osztható $p$-vel, amiben $j<l$,

a fennmaradó egyetlen tag, $a_kb_l$ viszont nem osztható $p$-vel.

Tehát $c_{k+l}$ nem osztható $p$-vel, ellentmondás.

Alkalmazás

Ha a $H(x)$ egész együtthatós polinom felbomlik a racionális együtthatós $f(x)$ és $g(x)$ polinomok szorzatára, akkor olyan egész együtthatós $F(x)$ és $G(x)$ polinomok szorzatára is felbontható, ahol $F(x)$ fokszáma megegyezik $f(x)$-ével, $G(x)$ fokszáma pedig $g(x)$-ével.

Valóban, legyen $a$ és $A$ az $f(x)$ polinom együtthatói számlálói legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse, hasonlóan $b$ és $B$ a $g(x)$ polinom együtthatói számlálói legnagyobb közös osztója, illetve legkisebb közös többszöröse. Ekkor $f(x)=\frac{a}{A}F(x)$ és $g(x)=\frac{b}{B}G(x)$, ahol $F(x)$, $G(x)$ primitív polinomok. Továbbá $(a,A)=(b,B)=1$.

Amit tudunk még, az

$\frac{a}{A}F(x)\frac{b}{B}G(x)=H(x).$

egyenlőség.

Azt is feltehetjük, hogy $(a,B)=(A,b)=1$, hiszen, ha például $a$-nak és $B$-nek lenne egy $d>1$ közös osztója, akkor $a$-t és $B$-t $d$-vel osztva ismét egyenlőséget kapunk.

Kaptuk tehát, hogy $(ab,AB)=1$. Felszorozva

$ab\cdot F(x)G(x)=AB\cdot H(x)$

adódik. Mivel $H(x)$ egész együtthatós, $AB$ osztja a bal oldali polinom minden együtthatóját. De $(ab,AB)=1$, ezért $AB$ osztja $F(x)G(x)$ minden együtthatóját. A Gauss-lemma miatt ez csak úgy lehet, ha $AB=1$, azaz $A=B=1$. Ezzel készen vagyunk, hiszen $aF(X)\cdot bG(x)$ a $H(x)$ felbontása egész együtthatós polinomok szorzatára.