Független események

A valószínűségszámításban két esemény függetlensége azt írja le, hogy az egyik esemény bekövetkezése vagy nem bekövetkezése nincs hatással a másikra, és a másiknak sem az egyikre. Alapvető fogalom.

Két esemény függetlensége

Definíció

Legyen $(\Omega ,\Sigma ,P)$ valószínűségi tér és $A,B\in \Sigma$ tetszőleges események, azaz mérhető részhalmazok az $\Omega$ eseményhalmazban.

Két esemény, $A$ és $B$ független, ha

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Tehát akkor függetlenek, ha annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik, egyenlő a két esemény valószínűségének szorzatával.

Példa

Példaként tekintsünk két húzást egy urnából, amiben két piros és két fekete golyó van. Legyen a két esemény:

• A: Az első golyó fekete
• B: A második golyó piros

Ekkor $P(A)={\tfrac {1}{2}}$ és $P(B)={\tfrac {1}{2}}$.

Visszatevéses esetben:

$P(A\cap B)={\frac {1}{4}}=P(A)\cdot P(B)$.

Tehát a két esemény független.

Visszatevés nélkül $P'(A\cap B)={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {1}{3}}\neq P'(A)\cdot P'(B)$, ami azt jelenti, hogy a két esemény nem független. Ez azt is mutatja, hogy a függetlenség nemcsak az eseményektől, hanem a használt valószínűségi mértéktől is függ.

Tulajdonságok

• Az események függetlensége szimmetrikus tulajdonság. Beszélhetünk A és B események függetlenségéről.
• Egy esemény csak akkor független saját magától, ha valószínűsége 0 vagy 1. Ez azt jelenti, hogy a teljes $\Omega$ és az üres $\emptyset$ halmaz független saját magától.
• A 0 vagy 1 valószínűségű események nemcsak saját maguktól, hanem minden más eseménytől is függenek, mivel ekkor $P(A\cap B)=0$ illetve $P(A\cap B)=P(B)$. Megfordítva, ha egy A esemény minden eseménytől független, akkor $P(A)=1$ vagy $P(A)=0$.
• A függetlenség nem tévesztendő össze a diszjunktsággal. Diszjunkt események csak akkor függetlenek, ha egyikük valószínűsége 0 vagy 1.
• Feltételes valószínűséget használva a függetlenség másként is megfogalmazható: Ha $A$ és $B$ események, és valószínűségük $P(A),P(B)>0$ függetlenek, ha

$P(A|B)\;=P(A)$

másként

$P(A|B)\;=P(A|{\bar {B}}).$

Az utolsó két definíció szavakkal így jellemezhető: Az $A$ esemény bekövetkezése nem függ attól, hogy $B$ vagy ${\bar {B}}$ következik-e be. Itt szimmetria miatt $A$ és $B$ szerepe felcserélhető.

Története

Abraham de Moivre és Thomas Bayes visszatevés nélküli szerencsejátékokat vizsgált, az események függetlensége ezzel kapcsolatban merült fel, habár Jakob I. Bernoulli kimondása nélkül épített rá. De Moivre 1718-ban azt a definíciót adta a The Doctrine of Chance című könyvében, amit ma is ismerünk. Későbbi kiadása már a két esemény egymásra hatásának hiányát mondja ki, ez a feltételes valószínűséggel való definíció előfutára. Formálisan először Georg Bohlmann írta le 1900-ban.

Több esemény függetlensége

Definíció

Legyen $(\Omega ,\Sigma ,P)$ valószínűségi tér, $I$ nemüres indexhalmaz, és $(A_{i})_{i\in I}$ események egy családja. Ez legutóbbi független, ha $I$ minden véges $J$ részhallmazásra teljesül, hogy

$P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}\right)=\prod _{j\in J}P(A_{j})$

Példa

A fenti definíció szerint, ha $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ esemény, akkor mivel hárman vannak, mindháromnak páronként függetlennek kell lennie, és még az $P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot P(A_{3})$ összefüggésnek is teljesülnie kell. Bernstein példája (1927) három esemény, $A_{1}$, $A_{2}$ és $A_{3}$ páronkénti függetlenségét mutatja, de együtt (tehát $A_{1}$, $A_{2}$ és $A_{3}$) nem függetlenek. Hasonló példát már Georg Bohlmann is adott 1908-ban.

Legyen egy skatulyában 4 cédula a következő számokkal: 112, 121, 211, 222. Ezek közül egyet (1/4 valószínűséggel) véletlenszerűen kiválasztunk. A következő három eseményt tekintjük:

$A_{1}=\lbrace 1\ \mathrm {az\ 1.\ jegy} \rbrace$, valószínűsége $P(A_{1})={\frac {1}{2}}$

$A_{2}=\lbrace 1\ \mathrm {a\ 2.\ jegy} \rbrace$, valószínűsége $P(A_{2})={\frac {1}{2}}$

$A_{3}=\lbrace 1\ \mathrm {a\ 3.\ jegy} \rbrace$, valószínűsége $P(A_{3})={\frac {1}{2}}$

Könnyen látható, hogy az események páronként függetlenek, mivel

$P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})={\frac {1}{4}}$

$P(A_{1}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{3})={\frac {1}{4}}$

$P(A_{2}\cap A_{3})=P(A_{2})\cdot P(A_{3})={\frac {1}{4}}$

Azonban a három esemény nem független, mivel

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=0\neq {\frac {1}{8}}=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot P(A_{3}).$

Megfordítva sem következik $P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot P(A_{3})$ esetén, hogy a három esemény páronként független. Tekintsük az

$\Omega =\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$

alaphalmazt az

$A_{1}=\{a,b,d,f\}$

$A_{2}=A_{3}=\{a,c,e,g\}$

eseményekkel az egyenletes eloszlás szerint! Ekkor

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(\{a\})={\frac {1}{8}}=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot P(A_{3})$,

viszont

$P(A_{2}\cap A_{3})=P(\{a,c,e,g\})={\frac {1}{2}}\neq P(A_{2})\cdot P(A_{3})={\frac {1}{4}}$.

Kapcsolat az oksággal

Fontos megjegyezni, hogy a függetlenség és az oki függetlenség két különböző dolog. A függetlenség valószínűségi mértékek és események absztrakt tulajdonsága, ami szimmetrikus, ez nem teljesül az okságra. A következőkben áttekintünk néhány példát a két kapcsolatról.

Függetlenség és oki függőség

Dobjunk két kockával, legyen az $A$ esemény, hogy az első kocka páros számot mutat, a $B$ esemény, hogy a dobott számok összege páros! Ekkor $P(A)=P(B)={\tfrac {1}{2}}$ és $P(A\cap B)={\tfrac {1}{4}}$, a két esemény független, de $B$ okilag függ $A$-tól, mivel az első kockával kidobott szám hozzájárul az összeghez.

Függetlenség és oki függetlenség

Dobjunk két kockával, legyen az $A$ esemény, hogy az első kockával 6-ot dobunk, a $B$ esemény, hogy a második kockával 6-ot dobunk! Ekkor $P(A)=P(B)={\tfrac {1}{6}}$ és $P(A\cap B)={\tfrac {1}{36}}$, a két esemény független, és belátható, hogy okilag is függetlenek.

Összefüggés és oki függés

Dobjunk egy érmével kétszer, legyen az $A$ esemény, hogy mindkétszer fejet dobunk, a $B$ esemény, hogy az első dobás írás! Ekkor $P(A)={\tfrac {1}{4}}$ és $P(B)={\tfrac {1}{2}}$, viszont $P(A\cap B)=0$. Az események diszjunktak, összefüggők és okilag is összefüggők.

Megjegyzés

Korrekt metodológia esetén nem elég feltételezni a függetlenséget, azt meg kell vizsgálni. Statisztikai vizsgálatoknál a $P(A\cap B)$ nem eleve adott. Hipotézisvizsgálatot lehet χ²-próbával végezni.

Általánosításai

Az események függetlensége általánosítható halmazrendszerek függetlenségére és az alapján valószínűségi változókra is kiterjeszthető. Mindezek központi jelentőséggel bírnak a valószínűségszámításban, és számos tétel előfeltételében szerepelnek.

Feltételes várható érték használatával mindezek feltételes függetlensége is definiálható.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 
• Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
• A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Stochastisch unabhängige Ereignisse című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.