Feltételes valószínűség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény már bekövetkezett vagy bekövetkezik. Jelölése P(A | B), szóban: A feltéve B.

Két esemény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A és B események, és B valószínűsége pozitív, akkor

P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

ahol P(A \cap B) annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik. Így is írják: P(A,B) illetve P(AB).

A feltételes valószínűség kiszámítására szolgáló képletet átalakítva:

P(A\cap B) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A).

Ha A és B független, akkor

P(A\cap B) = P(A) P(B) \Rightarrow P(A|B) = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A).

Ha csak P(B), P(A|B) és P(B|A) ismert, akkor A valószínűsége:

P(A) = P(A|B) P(B) + P(A|\overline B) P(\overline B),

ahol \overline B a B esemény komplementerét jelöli.

A Bayes-tétellel kiszámítható az egyik feltételes valószínűség a másik feltételes valószínűség és a nem feltételes valószínűségek segítségével:

P(A {\mid} B)= P(B {\mid}A) \, \frac{P(A)}{P(B)}.

Véges sok esemény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemcsak két eseményt tekinthetünk, hanem többet is. Jelölje őket rendre A_1, A_2,\dots, A_n!

A két eseményre vonatkozó képletet általánosítva:

\begin{align}
P(A_1 \cap A_2 \cap\dots\cap A_n)
&= P(A_1) \cdot \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)}
          \cdot \frac{P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)}{P(A_1 \cap A_2)}
          \cdot \ldots
          \cdot \frac{P(A_1\cap\dots\cap A_n)}{P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})}\\
&= P(A_1) \cdot P(A_2|A_1)
          \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2)
          \cdot \ldots
          \cdot P(A_n|A_1\cap\dots\cap A_{n-1})
\end{align}

A számítás döntési fával modellezhető.

Folytonos valószínűségi változók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f_{X,Y} közös sűrűségfüggvényű X és Y folytonos valószínűségi változók feltételes valószínűsége

f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dx.

Ha f_Y(y)>0, akkor értelmezhető X f_{X|Y} feltételes sűrűségfüggvénye egy adott y=y_0-ra:

f_{X|Y}(x,y_0) \,=\, \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}.

X sűrűségfüggvénye is meghatározható:

f_X(x) \,=\, \int f_{X,Y}(x,y)\,dy \,=\, \int f_Y(y_0)f_{X|Y}(x,y_0)\,dy_0.

A teljes valószínűség tételével az f_X marginális sűrűségfüggvény Y-tól függetlenül is meghatározható, ha y szerint integráljuk az f_{X,Y} függvényt.

Ügyelni kell arra, hogy a sűrűségfüggvény nem egyértelmű. f_{X,Y}, f_{X}, és f_{Y} sűrűségfüggvényének megfelel minden olyan mérhető függvény, ami P(X\in A, Y\in B), P(X\in A) és P(Y\in B)-re a megfelelő valószínűségeket adja. Az f_{X|Y} függvénynek az

P(X\in A, Y\in B) \,=\, \int_B f_Y(y) \int_A f_{X|Y}(x,y)\,dx\,dy

összefüggésnek kell eleget tennie.

Függetlenség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két esemény együttes bekövetkeztét az események szorzatának, szorzateseménynek nevezzük. Két esemény, A és B akkor és csak akkor független, ha szorzateseményük valószínűsége megegyezik valószínűségük szorzatával:

P(A \cap B) \ = \ P(A) P(B)

Ekkor, ha A és B is pozitív valószínűségű, akkor az egyik feltéve a másik feltételes valószínűségek megegyeznek a feltétel nélküliekkel:

P(A|B) \ = \ P(A)

és

P(B|A) \ = \ P(B).

Kizáró események[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két esemény kizárja egymást, ha nem következhetnek be egyszerre, \scriptstyle A \cap B \,=\, \varnothing Például ilyen egy esemény és komplementere, vagy hogy a kockával hatost, vagy egyest dobunk-e. Két esemény akkor és csak akkor lehet kizáró is és független is, ha egyik az üres, másik ennek komplementere, a teljes esemény.

Mivel üres esemény valószínűsége nulla, ezért \scriptstyle P(A \cap B)\, =\, 0. Így, ha B valószínűsége pozitív, akkor \scriptstyle P(A\mid B)=0.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Denkinger Géza: Valószínűségszámítás
  • Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya