Feltételes valószínűség

Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény már bekövetkezett vagy bekövetkezik. Jelölése P(A | B), szóban: A feltéve B.

Két esemény

Ha A és B események, és B valószínűsége pozitív, akkor

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.$

ahol $P(A\cap B)$ annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik. Így is írják: $P(A,B)$ illetve $P(AB)$.

A feltételes valószínűség kiszámítására szolgáló képletet átalakítva:

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A).$

Ha A és B független, akkor

$P(A\cap B)=P(A)P(B)\Rightarrow P(A|B)={\frac {P(A)P(B)}{P(B)}}=P(A).$

Ha csak P(B), P(A|B) és P(B|A) ismert, akkor A valószínűsége:

$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|{\overline {B}})P({\overline {B}}),$

ahol ${\overline {B}}$ a B esemény komplementerét jelöli.

A Bayes-tétellel kiszámítható az egyik feltételes valószínűség a másik feltételes valószínűség és a nem feltételes valószínűségek segítségével:

$P(A{\mid }B)=P(B{\mid }A)\,{\frac {P(A)}{P(B)}}.$

Véges sok esemény

Nemcsak két eseményt tekinthetünk, hanem többet is. Jelölje őket rendre $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$!

A két eseményre vonatkozó képletet általánosítva:

${\begin{aligned}P(A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n})&=P(A_{1})\cdot {\frac {P(A_{1}\cap A_{2})}{P(A_{1})}}\cdot {\frac {P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}{P(A_{1}\cap A_{2})}}\cdot \ldots \cdot {\frac {P(A_{1}\cap \dots \cap A_{n})}{P(A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})}}\\&=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot P(A_{n}|A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\end{aligned}}$

A számítás döntési fával modellezhető.

Teljes valószínűség tétele

Az $A$ esemény valószínűsége kiszámítható, ha ismert az $(A\mid B)$ és $(A\mid B^{c})$ feltételes valószínűség, ahol $B^{c}$ a $B$ esemény be nem következése. Ekkor

$P(A)=P\left(A\mid B\right)\cdot P(B)+P\left(A\mid B^{c}\right)\cdot P\left(B^{c}\right),$

Általában, legyen $B_{1},B_{2},\dotsc$ teljes eseményrendszer, és $P(B_{j})>0$ minden $j$-re. A teljes eseményrendszer a teljes $\Omega$ eseménytér partíciója. Ekkor

$P(A)=\sum _{j=1}^{\infty }P\left(A\mid B_{j}\right)\cdot P\left(B_{j}\right)$

Folytonos valószínűségi változók

Az $f_{X,Y}$ közös sűrűségfüggvényű X és Y folytonos valószínűségi változók feltételes valószínűsége

$f_{Y}(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dx$.

Ha $f_{Y}(y)>0$, akkor értelmezhető X $f_{X|Y}$ feltételes sűrűségfüggvénye egy adott $y=y_{0}$-ra:

$f_{X|Y}(x,y_{0})\,=\,{\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}$.

X sűrűségfüggvénye is meghatározható:

$f_{X}(x)\,=\,\int f_{X,Y}(x,y)\,dy\,=\,\int f_{Y}(y_{0})f_{X|Y}(x,y_{0})\,dy_{0}$.

A teljes valószínűség tételével az $f_{X}$ marginális sűrűségfüggvény Y-tól függetlenül is meghatározható, ha y szerint integráljuk az $f_{X,Y}$ függvényt.

Ügyelni kell arra, hogy a sűrűségfüggvény nem egyértelmű. $f_{X,Y}$, $f_{X}$, és $f_{Y}$ sűrűségfüggvényének megfelel minden olyan mérhető függvény, ami $P(X\in A,Y\in B)$, $P(X\in A)$ és $P(Y\in B)$-re a megfelelő valószínűségeket adja. Az $f_{X|Y}$ függvénynek az

$P(X\in A,Y\in B)\,=\,\int _{B}f_{Y}(y)\int _{A}f_{X|Y}(x,y)\,dx\,dy$

összefüggésnek kell eleget tennie.

Függetlenség

Két esemény együttes bekövetkeztét az események szorzatának, szorzateseménynek nevezzük. Két esemény, A és B akkor és csak akkor független, ha szorzateseményük valószínűsége megegyezik valószínűségük szorzatával:

$P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B)$

Ekkor, ha A és B is pozitív valószínűségű, akkor az egyik feltéve a másik feltételes valószínűségek megegyeznek a feltétel nélküliekkel:

$P(A|B)\ =\ P(A)$

és

$P(B|A)\ =\ P(B).$

Kizáró események

Két esemény kizárja egymást, ha nem következhetnek be egyszerre, $\scriptstyle A\cap B\,=\,\varnothing$ Például ilyen egy esemény és komplementere, vagy hogy a kockával hatost, vagy egyest dobunk-e. Két esemény akkor és csak akkor lehet kizáró is és független is, ha egyik az üres, másik ennek komplementere, a teljes esemény.

Mivel üres esemény valószínűsége nulla, ezért $\scriptstyle P(A\cap B)\,=\,0$. Így, ha B valószínűsége pozitív, akkor $\scriptstyle P(A\mid B)=0$.

Források

• Denkinger Géza: Valószínűségszámítás
• Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya