Egyenletes konvergencia

A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {f_n} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha f_n(x) konvergenciasebessége nem függ x-től.

A fogalom azért fontos, mert megőrzi az f_n függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.

Definíció

Legyen $S$ halmaz, és $f_{n}:S\to \mathbb {R}$ függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sorozat egyenletesen tart az $f:S\to \mathbb {R}$ függvényhez, ha minden $\epsilon >0$-hoz van egy $N$ természetes szám, hogy minden $x\in S$ helyre és minden $n\geq N$ sorszámra $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$.

Tekintsük az $a_{n}=\sup _{x}|f_{n}(x)-f(x)|$ sorozatot, ahol a szuprémum az összes $x\in S$-re megy. Ekkor $f_{n}$ egyenletesen tart $f$-hez, ha $a_{n}$ tart nullához.

Az $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart $f$-hez, ha egy $S$ metrikus tér minden $x$ eleméhez létezik $r>0$, hogy $(f_{n})$ egyenletesen konvergens $B(x,r)\cap S$-ben.

Megjegyzés

Megjegyzendő, hogy a definícióban a „létezik olyan N” és a „minden x” nem felcserélhető. Ennek felcserélésével a pontonkénti konvergenciához jutunk vissza. Ez a következőképpen definiálható: (f_n) pontonként konvergens, és határfüggvénye f : S → R, ha minden x ∈ S-re és minden ε > 0-ra van egy N szám, hogy minden n ≥ N-re f_n(x) − f(x)| < ε. Itt az x-re és az ε-ra vonatkozó kvantorok sorrendje közömbös, csak az N-re vonatkozó és az x-re vonatkozó sorrendje nem mindegy.

Egyenletes konvergencia esetén az N csak ε-tól függhet, míg pontonkénti konvergencia esetén x-től is. Emiatt nyilvánvaló, hogy az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti. Fordítva ez nem igaz. Legyen S a [0,1] intervallum, és legyen f_n(x) = xⁿ minden n természetes számra. Ekkor az (f_n) sorozat pontonként tart f-hez, ahol f(x) = 0, ha x < 1, és f(1) = 1. Ez nem egyenletes konvergencia; ugyanis például ε = 1/4-hez nincs a definícióban megkövetelt N. Ugyanis n-re megoldva n > log ε / log x. Ez függ x-től, és ε-tól is, tehát nem lehet olyan N, ami nem függ x-től.

Tulajdonságok

• Minden egyenletesen konvergens sorozat lokálisan egyenletesen konvergens is.
• Minden lokálisan egyenletesen konvergens sorozat kompakt módon konvergens.
• Lokálisan kompakt terekben a kompakt módon konvergens sorozatok lokálisan egyenletesen konvergensek.
• Metrikus tereken folytonos függvények sorozatára, ha a képtér, mint metrikus tér teljes, akkor és csak akkor egyenletesen konvergens, ha egyenletesen Cauchy.
• Ha S kompakt, és $(f_{n})$ folytonos függvények monoton növő sorozata ($f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ minden n-re), és pontonkénti határfüggvénye $f$ szintén folytonos, akkor Dini tétele miatt egyenletesen konvergens.
• Ha $S$ kompakt intervallum, és $(f_{n})$ egyenletesen folytonos sorozat, ami pontonként konvergens, akkor az egyenletesen is konvergens.

Példák

Tekintsük egy X topologikus tér valós vagy komplex értékű korlátos függvényeit a szuprémum normával. Ekkor az egyenletes konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergenciával.

Az $f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ $f_{n}(x):=x^{n}$ sorozat pontonként konvergens, de nem egyenletesen konvergens:

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1)\\1,&x=1.\end{cases}}$

Ebből látható, hogy a pontonkénti konvergencia nem őrzi meg a differenciálhatóságot, de még a folytonosságot sem. Míg a sorozat minden eleme akárhányszor differenciálható, határfüggvénye még csak nem is folytonos.

Az exponenciális függvény sorfejtése a Weierstass-féle M-teszttel megmutathatóan egyenletesen konvergens $\mathbb {C}$ minden korlátos részhalmazán.

A sor:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

A korlátos részhalmazok lefedhetők egy origó közepű körlappal, aminek sugarát jelölje R. A Weierstrass-féle M-teszthez találni kell egy $M_{n}$ felső korlátot a sor termjeire, ami nem függ a helytől.

$\left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.$

De ez triviális:

$\left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {\left|z\right|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}$

$\Rightarrow M_{n}={\frac {R^{n}}{n!}}.$

Ha $\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}$ konvergens, akkor az eredeti sorozat egyenletesen konvergens.

A hányadoskritériumot alkalmazva:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0$

ami azt jelenti, hogy az $M_{n}$ sorozat konvergens. Így az eredeti sorozat minden $z\in D_{R}$-re egyenletesen konvergens, és mivel $S\subset D_{R}$, S-en is egyenletesen konvergens.

Alkalmazások

Folytonosság

Ellenpélda a konvergenciatétel erősítésére, ami megelégedne a pontonkénti konvergenciával. A folytonos zöld $\sin ^{n}(x)$ függvények a nem folytonos piros függvényhez tartanak. Ez azért lehet, mert a konvergencia nem egyenletes

Ha $I$ intervallum, vagy topologikus tér, akkor beszélhetünk $f_{n}$ és $f$ folytonosságáról. Az egyenletes konvergencia tétele azt állítja, hogy ha az $(f_{n})_{n}$ sorozat tagjai folytonos függvények az $I$ intervallumon, és egyenletesen konvergálnak $f$-hez $I$-n, akkor $f$ folytonos $I$-n.

A tétel bizonyítása az $\epsilon /3$ fogásán alapul. Az $<\epsilon$ egyenlőtlenséghez a folytonosság és az egyenletes konvergencia definíciójából három egyenlőtlenséget vezet be, és a háromszög-egyenlőtlenség alapján kombinálja őket. Ez eredményezi a kívánt egyenlőtlenséget $\epsilon$-ra.

Ez a tétel azért fontos, mivel a pontonkénti konvergencia nem biztosítja a határfüggvény folytonosságát.

Pontosabban, a tétel arról szól, hogy az egyenletesen folytonos függvények egyenletes határfüggvénye egyenletesen folytonos. Lokálisan kompakt térben a folytonosság ekvivalens a lokális egyenletes folytonossággal, így a folytonos függvények egyenletes határfüggvénye folytonos.

Differenciálhatóság

Ha $\scriptstyle S$ intervallum, és az $\scriptstyle f_{n}$ függvények mind differenciálhatók, és tartanak az $\scriptstyle f$ függvényhez, gyakran kívánatos, hogy az $\scriptstyle f_{n}$ függvények deriváltjai tartsanak $\scriptstyle f$ deriváltjához. Ez általában nem teljesül, még egyenletes konvergencia esetén sem. Még ez sem biztosítja, hogy a határfüggvény differenciálható legyen, és ha differenciálható is, akkor sem biztos, hogy teljesül rá a fent megkívánt tulajdonság.

Legyen például $\scriptstyle f_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sin(nx)$. Ez tart az azonosan nullához, de ez nem teljesül a deriváltjaira. Ehhez a deriváltaknak kell egyenletesen konvergálniuk, plusz az eredeti függvényeknek legalább egy pontban konvergálniuk. Maga az állítás így szól:

Tegyük fel, hogy $\scriptstyle {f_{n}}$ függvények sorozata, ezek mindegyike differenciálható $\scriptstyle [a,b]$-n, és hogy egy $\scriptstyle x_{0}\in >\scriptstyle [a,b]$ pontban $\scriptstyle {f_{n}(x_{0})}$ konvergens. Ha $\scriptstyle f'_{n}$ egyenletesen konvergens ezen az $\scriptstyle [a,b]$-n, akkor $\scriptstyle {f_{n}}$ egyenletesen konvergál egy $\scriptstyle f$ függvényhez, és $\scriptstyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)$ minden $\scriptstyle x\in [a,b]$-re.

Integrálhatóság

Hasonlóan kívánatos tulajdonság, hogy az integrálható függvényekből álló függvénysorozat integráljai is a függvénysorozat határfüggvényének integráljához tartsanak. A Riemann-integrálra az egyenletes konvergencia teljesíti ezt:

Ha $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ Riemann-integrálható függvények egy sorozata az I kompakt intervallumon, ami egyenletesen tart az f határfüggvényhez, akkor f Riemann-integrálható, és Riemann-integrálja

$\int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.$

Valójában ugyanez az alsó és a felső integrálra is teljesül. Ez azért következik, mert ha n elég nagy, akkor $f_{n}$ grafikonja f grafikonjától ε távolságon belül fut, így $f_{n}$ alsó és felső közelítő összegei $\varepsilon |I|$ távolságon belül vannak f alsó és felső közelítő összegeitől.

A Riemann-integrál helyett a Lebesgue-integrálra elég pontonkénti konvergenciát feltenni.

Analitikusság

Ha a komplex sík egy S tartományában analitikus függvények egyenletesen konvergens, akkor határfüggvényük is analitikus S-ben. EZ is azt bizonyítja, hogy a komplex függvények jobban viselkednek, mint a valósak, mivel valós analitikus függvények egy egyenletesen sorozatának határfüggvényének még csak differenciálhatónak sem kell lennie.

Sorok

Azt mondjuk, hogy $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ konvergenciája:

1. pontonkénti E-n, ha s_n pontinként konvergál, ahol s_n(x) az n-edik részösszeg
2. egyenletes E-n, ha s_n(x) egyenletesen konvergens
3. abszolút, ha $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|$ minden x-re konvergál E-ben

Ezzel a definícióval a következő eredményre juthatunk:

Tétel: Legyen x₀ pont E-ben, és legyen minden f_n folytonos x₀-ban. Ha f = $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ egyenletesen konvergál E-n, akkor f folytonos x₀-ban.

Tegyük fel, hogy E = [a, b], és $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ egyenletesen konvergens E-n. Ekkor f integrálható E-n, és f_n integráljának sora az f_n sorának integráljával. Ez a tagonkénti integrálás elve.

Majdnem egyenletes konvergencia

Ha a függvények egy mértéktéren vannak értelmezve, akkor egy hasonló fogalom értelmezhető. Azt mondjuk, hogy az $(f_{n})$ függvények egy sorozata majdnem egyenletesen konvergens E-n, ha minden $\delta >0$ számhoz van $E_{\delta }$ mérhető halmaz, aminek mérete kisebb, mint $\delta$, hogy az $(f_{n})$ függvények egyenletesen konvergensek $E\setminus E_{\delta }$-on. Más szavakkal, a majdnem egyenletes konvergencia azt jelenti, hogy egy akármilyen kicsi halmaz kivételével a konvergencia egyenletes.

Meg kell azt jegyezni, hogy a majdnem egyenletes konvergencia nem ugyanaz, mint a majdnem mindenütt való egyenletes konvergencia.

Egorov tétele szerint, ha függvények egy sorozata egy véges mértéktéren pontonként majdnem mindenütt konvergens, ugyanitt majdnem egyenletesen is konvergens.

A majdnem egyenletes konvergenciából következik a majdnem mindenütt konvergencia és a mérték szerinti konvergencia.

Általánosítások

A definíció közvetlenül kiterjeszthető S → M függvényekre is, ahol (M, d) metrikus tér. Itt |f_n(x) − f(x)| helyettesíthető d(f_n(x), f(x))-szel.

A legáltalánosabb kiterjesztés függvények hálójára vonatkozik, amely függvények uniform térbe képeznek.

A definíció egyszerűsíthető hiperreális környezetben. Ekkor egy $f_{n}$ sorozat egyenletesen konvergens az f* tartományon, és határfüggvénye f, ha minden x-re és minden végtelen n-re $f_{n}^{*}(x)$ végtelenül közel van $f^{*}(x)$-hoz.

Források

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• William Wade, An Introduction to Analysis , 3rd ed., Pearson, 2005

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Uniform convergence című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.