Borsuk–Ulam-tétel

A Borsuk–Ulam-tétel azt állítja, hogy minden $\mathbb {S} ^{n}$-t $\mathbb {R} ^{n}$-be képező folytonos vektormezőhöz van két átellenes pont, amit a vektormező ugyanarra a vektorra képez. Stanisław Ulam sejtését Karol Borsuk látta be 1933-ban.

Speciálisan, az n=2 esetét is nevezik Borsuk–Ulam-tételnek. Ezt az esetet azzal szokás szemléltetni, hogy mindig van a Földön két átellenes pont, ahol a hőmérséklet és a légnyomás is megegyezik.

Következményei

• $\mathbb {S} ^{n}$ nem képezhető le homeomorf módon $\mathbb {R} ^{n}$ egy részhalmazába sem.
• A sonkásszendvicstétel: adva legyen $\mathbb {R} ^{n}$-ben n test, amik minden irányban elfelezhetők hipersíkkal. Ekkor van egy hipersík, ami mindegyiket felezi.
• Lusternik–Schnirelmann-tétel: akárhogy is fedjük le $\mathbb {S} ^{n}$-t n+1 nyílt halmazzal, mindig lesz köztük olyan, ami tartalmaz átellenes pontpárokat.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt, hogy egy f(v) függvényre nem igaz a tétel, tehát előállítható a $\mathrm {g(x)} ={\frac {\mathrm {f(x)} -\mathrm {f(-x)} }{||\mathrm {f(x)} -\mathrm {f(-x)||} }}$ egységvektormező. Ez egy páratlan függvény. Kiterjed a peremre, ezért körülfordulási száma nulla, de mivel páratlan, ezért a körülfordulási száma sem lehet páros, ez pedig ellentmondás.

Források

• Szűcs András: Topológia